Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления

 

Содержание страницы:

Действия с дробями

Действия со степенями

Примеры решений заданий из ОГЭ

 

Действия с дробями

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь — дробь вида

a b

где число a — числитель дроби, число b — знаменатель.
Примеры:

1 2 ; 6 5 ; 3 1 ; 7 15 .

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Дробь называется правильной, если числитель ( a ) меньше знаменателя ( b ) .
Примеры:

5 6 ; 3 4 .

Дробь называется неправильной, если числитель ( a ) больше знаменателя ( b ) .
Примеры:

6 5 ; 3 1 .

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:

12 16 = 3 ? 4 4 ? 4 = 3 4

21 14 = 3 ? 7 2 ? 7 = 3 2

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:

2 5 ; 9 11 ; 125 126 .

Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:

3 1 2 ; 2 7 8 ; 90 12 77 .

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

3 1 2 = 3 2 + 1 2 = 7 2

2 7 8 = 2 8 + 7 8 = 23 8

90 12 77 = 90 77 + 12 77 = 6942 77

Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:

56,002;   4,125;   12,3;   0,01.

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

Перевод в обыкновенные дроби:

12 , 3 = 12 3 10 = 12 10 + 3 10 = 123 10 0 , 01 = 1 100

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

  • превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть,
    например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\]
  • найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
  • произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Примеры:

(1) 2 1 6 +1 7 8 = 26+1 6 + 18+7 8 = 13 6 + 15 8 = 134 64 + 153 83 = 52+45 24 = 97 24 =4 1 24

 

(2) 3 7 12 2 3 16 = 312+7 12 216+3 16 = 43 12 35 16 = 434 124 353 163 = 172105 48 = 67 48 =1 19 48

 

(3) 2 3 14 0,6= 214+3 14 6 10 = 31 14 3 5 = 315 145 314 514 = 15542 70 = 113 70 =1 43 70

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]

Примеры:

(1) 2 3 4 8 11 ÷0,5= 11 1 4 1 8 2 11 1 ÷ 5 1 10 2 =2÷ 1 2 =2 2 1 =4

 

(2) 6÷2,251,5= 6 1 ÷2 1 4 1 5 1 10 2 = 6 1 ÷ 9 4 3 2 = 6 3 1 4 9 3 3 1 2 1 =4

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac{4}{7} < \frac{5}{7};\;\;\;\; \frac{3}{{14}} > \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} < \frac{{55}}{3}.\]
Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac{2}{7} < \frac{2}{5};\;\;\;\; \frac{7}{6} > \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{2^{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3^{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}} < \frac{{15}}{{35}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{2}{5} < \frac{3}{7}\]

Пример 2:

\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{5^{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7^{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]

Действия со степенями.

$a^n$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.

$a$ — основание степени, $n$ — показатель.

a n = aa...a nраз — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Любое число $a$ можно представить в виде $a=a^1$. То есть $2=2^1$, $15=15^1$ и так далее.

Единицу можно представить, как произвольное число в степени $0$, то есть $1=2^0=15^0\dotsc$

Единицу можно возводить в любую степень, то есть $1=1^n=1^0=1^1=1^8=1^{146}\dotsc$

Ноль в любой натуральной степени есть ноль, то есть: $0 = {0^n} = {0^1} = {0^{15}} = {0^{179}}\dotsc$ где $n \ne 0$.

Запись 0 0 в математике не имеет смысла.

Свойства степеней с натуральным показателем:

(1) a m a n = a m+n

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$

 

(2) a m a n = a mn

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 - 3}} = {a^1} = a$$

 

(3) (ab) n = a n b n

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$

 

(4) ( a b ) n = a n b n

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$

 

(5) ( a m ) n = a mn

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$

 

(6) a n = 1 a n

Примеры:

$${a^{ - 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ - 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Возведение отрицательных чисел в степень

Отрицательное число, возведенное в нечётную степень есть число отрицательное
Примеры:

\[{( - 2)^3} = - ({2^3}) = - 8;\] \[{( - 1)^5} = - ({1^5}) = - 1;\] \[{( - 6)^1} = - 6;\] \[{( - 10)^3} = - ({10^3}) = - 1000.\]

Отрицательное число, возведенное в чётную степень есть число положительное
Примеры:

\[{( - 2)^4} = {2^4} = 16;\] \[{( - 1)^{10}} = {1^{10}} = 1;\] \[{( - 10)^6} = {10^6} = 1000000.\]

 

Задание №1 из ОГЭ. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.