Алгебра. Урок 2. Задания.

№1. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой $A$?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $\sqrt{2}$
2. $\sqrt{3}$
3. $\sqrt{7}$
4. $\sqrt{11}$

Решение:

В вариантах ответ а указаны неизвлекаемые корни, но мы можем оценить, в каких интервалах они лежат, разместив эти неизвлекаемые корни между извлекаемыми.

1. $1=\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}=2$
2. $1=\sqrt{1}<\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$
3. $2=\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}=3$
4. $3=\sqrt{9}<\sqrt{11}<\sqrt{16}=4$

Замечаем, что на отрезке $[1;2]$ лежат и $\sqrt{2}$, и $\sqrt{3}$. Для того, чтобы определить, какой из этих корней соответствует точке А, возведем в квадрат эти корни и концы интервала.

Таким образом, $A^2=3\Rightarrow A=\sqrt{3}$.

Ответ: 2

 

№2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{3}{8}$. Какая это точка?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $A$
2. $B$
3. $C$
4. $D$

Решение:

Поделим дробь $\frac{3}{8}$ в столбик. $\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}$.

Аналогично, $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.

$\mathrm{0,375}<\mathrm{0,5}$.

Отсюда можно сделать вывод, что число $\frac{3}{8}$ лежит левее, чем $\frac{1}{2}$.

Поступим так с дробью $\frac{1}{3}=\mathrm{0,333\dots }$

$\mathrm{0,333\dots }<\mathrm{0,375}<\mathrm{0,5}$.

$\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{1}{2}$.

Это означает, что числу $\frac{3}{8}$ на координатной прямой соответствует точка $С$.

Ответ: 3

 

№3. На координатной прямой точками $A$, $B$, $C$, $D$ отмечены числа $\mathrm{0,098}$, $\mathrm{-0,02}$, $\mathrm{0,09}$, $\mathrm{0,11}$. Какой точкой изображается число $\mathrm{0,09}$?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $A$
2. $B$
3. $C$
4. $D$

Решение:

Сравним между собой заданные числа. Получим следующую цепочку неравенств:

$$-\mathrm{0,02}<\mathrm{0,09}<\mathrm{0,098}<\mathrm{0,11}$$

$$A<B<C<D$$

Число $\mathrm{0,09}$ обозначается точкой $B$.

Ответ: 2

 

№4. Известно, что число $m$ отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами $0$, $m$, $2m$, $m^2$ расположены на координатной прямой в правильном порядке?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. 
2. 
3. 
4. 

Решение:

Если число $m$ отрицательное, то число $m^2$ будет положительным (любое число, отличное от нуля, в квадрате есть величина положительная). Только в первом варианте величина $m^2$ стоит справа от нуля.

Ответ: 1

 

№5. Известно, что $a$ и $b$ положительные числа и $a>b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
2. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
3. $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}$
4. сравнить невозможно

Решение:

В заданиях подобного рода удобно взять какие-то конкретные числа, чтобы не мучиться аналитическими рассуждениями, а увидеть все воочию. Итак, пусть $a=100$, $b=2$. По правилу сравнения дробей получим

$$\frac{1}{100}<\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$$

Верный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№6. На координатной прямой отмечено число $a$.

Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a-1$$\frac{1}{a}$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $a$,   $\frac{1}{a}$,   $a-1$
2. $a$,   $a-1$,   $\frac{1}{a}$
3. $a-1$,   $a$,   $\frac{1}{a}$
4. $\frac{1}{a}$,   $a-1$,   $a$

Решение:

Поставим числу $a$ в соответствие число из интервала. На мой взгляд, $a\approx -\mathrm{0,4}$.

$$a=-\mathrm{0,4}$$ $$a-1=-\mathrm{0,4}-1=-\mathrm{1,4}$$ $$\frac{1}{a}=\frac{1}{-\mathrm{0,4}}=-\left(1÷\frac{4}{10}\right)=-\left(1÷\frac{2}{5}\right)=-\left(1\cdot \frac{5}{2}\right)=-\mathrm{2,5}$$ $$-\mathrm{2,5}<-\mathrm{1,4}<-\mathrm{0,4}$$ $$\frac{1}{a}<a-1<a$$

Правильный ответ под номером 4.

Ответ: 4

 

№7. На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $x<y$   и   $\left|x\right|<\left|y\right|$
2. $x>y$   и   $\left|x\right|>\left|y\right|$
3. $x<y$   и   $\left|x\right|>\left|y\right|$
4. $x>y$   и   $\left|x\right|<\left|y\right|$

Решение:

Пусть $x=-1$, $y=2$. Тогда получаем:

$$-1<2 и \left|-1\right|<\left|2\right|$$

$$x<y и \left|x\right|<\left|y\right|$$

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

 

№8. Расположите в порядке возрастания числа: $\sqrt{10}$, $2\sqrt{3}$, $3$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $\sqrt{10}$,   $3$,   $2\sqrt{3}$
2. $2\sqrt{3}$,   $\sqrt{10}$,   $3$
3. $3$,   $\sqrt{10}$,   $2\sqrt{3}$
4. $3$,   $2\sqrt{3}$,   $\sqrt{10}$

Решение:

Возведем каждое из чисел в квадрат:

${\left(\sqrt{10}\right)}^2=10$;

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2=4\cdot 3=12$;

${\left(3\right)}^2=9$;

Сравним квадраты заданных чисел:

$9<10<12$

Следовательно:

$3<\sqrt{10}<2\sqrt{3}$

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3