Алгебра. Урок 3. Вычисления и алгебраические выражения

 

Содержание страницы:

 

Преобразования и вычисления

Свойства степеней:

(1) a m a n = a m+n

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$

 

(2) a m a n = a mn

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 — 3}} = {a^1} = a$$

 

(3) (ab) n = a n b n

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$

 

(4) ( a b ) n = a n b n

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$

 

(5) ( a m ) n = a mn

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$

 

(6) a n = 1 a n

Примеры:

$${a^{ — 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ — 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Свойства квадратного корня:

(1) a b = a b ,  при   a 0 b 0

Пример:

18 = 92 = 9 2 =3 2

 

(2) a b = a b ,  при   a 0 b > 0

Пример:

4 81 = 4 81 = 2 9

 

(3) ( a ) 2 =a ,  при   a 0

Пример:

( 3 ) 2 =3

 

(4) a 2 =| a |   при любом   a

Примеры:

(3) 2 =| 3 |=3 4 2 =| 4 |=4.

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m — целое число ( =0,±1,±2,±3 ), n — натуральное ( =1,2,3,4 ).

Примеры рациональных чисел:

1 2 ; 9 4 ;0,3333= 1 3 ;8;1236.

Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби m n , это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры иррациональных чисел:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число 4 содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи 4 =2 . Это означает, что число 4 есть число рациональное.

Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

Пример:

Упростить выражение 2 8 2 .

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 42 2 = 2 4 2 2 =22=4

2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 8 2 = 48 2 = 16 =4

 

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Квадрат суммы

(1) ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2

Пример:

( 3x+4y ) 2 = ( 3x ) 2 +23x4y+ ( 4y ) 2 = 9 x 2 +24xy+16 y 2

 

Квадрат разности

(2) ( ab ) 2 = a 2 2ab+ b 2

Пример:

( 5x2y ) 2 = (5x) 2 25x2y+ ( 2y ) 2 = 25 x 2 20xy+4 y 2

 

Сумма квадратов не раскладывается на множители

a 2 + b 2

 

Разность квадратов

(3) a 2 b 2 =( ab )( a+b )

Пример:

25 x 2 4 y 2 = ( 5x ) 2 ( 2y ) 2 = ( 5x2y )( 5x+2y )

 

Куб суммы

(4) ( a+b ) 3 = a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3

Пример:

( x+3y ) 3 = ( x ) 3 +3 ( x ) 2 ( 3y )+3( x ) ( 3y ) 2 + ( 3y ) 3 = x 3 +3 x 2 3y+3x9 y 2 +27 y 3 = x 3 +9 x 2 y+27x y 2 +27 y 3

 

Куб разности

(5) ( ab ) 3 = a 3 3 a 2 b+3a b 2 b 3

Пример:

( x 2 2y ) 3 = ( x 2 ) 3 3 ( x 2 ) 2 ( 2y )+3( x 2 ) ( 2y ) 2 ( 2y ) 3 = x 23 3 x 22 2y+3 x 2 4 y 2 8 y 3 = x 6 6 x 4 y+12 x 2 y 2 8 y 3

 

Сумма кубов

(6) a 3 + b 3 =( a+b )( a 2 ab+ b 2 )

Пример:

8+ x 3 = 2 3 + x 3 = ( 2+x )( 2 2 2x+x 2 )= ( x+2 )( 42x+ x 2 )

 

Разность кубов

(7) a 3 b 3 =( ab )( a 2 +ab+ b 2 )

Пример:

x 6 27 y 3 = ( x 2 ) 3 ( 3y ) 3 = ( x 2 3y )( ( x 2 ) 2 +( x 2 )( 3y )+ (3y) 2 )= ( x 2 3y )( x 4 +3 x 2 y+9 y 2 )

 

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Примеры:
2 5 ;   3 , 05 ;   0 , 1 43 ;   0 , 00 1 2 . Красным цветом выделена первая значащая цифра.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

  1. Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
  2. Полученное число умножить на 10 n , где n — число, которое определяется следующим образом:
  3. n > 0 , если запятая сдвигалась влево (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
  4. n < 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
  5. абсолютная величина числа n равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.

Примеры:

25 = 2 , 5 , = 2,5 10 1

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

3 , 05

Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как 3,05 10 0 , но поскольку 10 0 =1 , оставляем число в первоначальном виде.

0,143 = 0, 1 , 43 = 1,43 10 1

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

0,0012 = 0, 0 0 1 , 2 = 1,2 10 3

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

 

Задание №3 из ОГЭ. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку 3.