Алгебра. Урок 3. Задания. Часть 2.

№7. Найдите значение выражения $\left(\mathrm{1,3}\cdot {10}^{-3}\right)\left(2\cdot {10}^{-2}\right)$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $2600000$
2. $\mathrm{0,000026}$
3. $\mathrm{0,0000026}$
4. $\mathrm{0,00026}$

Решение:

$\left(\mathrm{1,3}\cdot {10}^{-3}\right)\left(2\cdot {10}^{-2}\right)=$ $\mathrm{1,3}\cdot 2\cdot {10}^{(-3)+(-2)}=$ $\mathrm{2,6}\cdot {10}^{-5}=$ $\mathrm{0,}\underleftarrow{0}\underleftarrow{0}\underleftarrow{0}\underleftarrow{0}\underleftarrow{2}\mathrm{,6}=$ $\mathrm{0,000026}$

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№8. Какое из следующих выражений равно $5^{k-3}$?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $\frac{5^k}{5^3}$
2. $\frac{5^k}{5^{-3}}$
3. $5^k-5^3$
4. ${\left(5^k\right)}^{-3}$

Решение:

Применим сперва второе свойство степени, а затем шестое.

$5^{k-3}=5^k\cdot 5^{-3}=$ $5^k\cdot \frac{1}{5^3}=\frac{5^k}{5^3}$

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

 

№9. Представьте выражение $\frac{{\left(c^{-6}\right)}^{-2}}{c^{-3}}$ в виде степени с основанием $c$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $c^9$
2. $c^{15}$
3. $c^{-5}$
4. $c^{-4}$

Решение:

Применим сперва третье свойство степени, а затем шестое. После этого поделим числитель на знаменатель.

$\frac{{\left(c^{-6}\right)}^{-2}}{c^{-3}}=$ $\frac{c^{(-6)\cdot (-2)}}{c^{-3}}=$ $\frac{c^{12}}{c^{-3}}=$ $c^{12}÷c^{-3}=$ $c^{12}÷\frac{1}{c^3}=$ $c^{12}\cdot \frac{c^3}{1}=c^{15}$

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№10. Значение какого из чисел является наибольшим?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $\sqrt{\mathrm{3,6}}$
2. $4\sqrt{\mathrm{0,2}}$
3. $\frac{\sqrt{64}}{4}$
4. $\sqrt{\frac{11}{6}}\cdot \sqrt{\frac{6}{3}}$

Решение:

Для того, чтобы сравнить представленные числа, возведем каждое из них в квадрат. Таким образом мы избавимся от корней и будем сравнивать рациональные числа.

${\left(\sqrt{\mathrm{3,6}}\right)}^2=\mathrm{3,6}$

${\left(4\sqrt{\mathrm{0,2}}\right)}^2=4^2\cdot {\left(\sqrt{\mathrm{0,2}}\right)}^2=16\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{3,2}$

${\left(\frac{\sqrt{64}}{4}\right)}^2=\frac{64}{16}=4$

${\left(\sqrt{\frac{11}{6}}\cdot \sqrt{\frac{6}{3}}\right)}^2=\frac{11}{6}\cdot \frac{6}{3}=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}=\mathrm{3,666\dots }$

Сравним квадраты чисел между собой:

$\mathrm{3,2}<\mathrm{2,6}<\mathrm{3,666\dots }<4$

$4\sqrt{\mathrm{0,2}}<\sqrt{\mathrm{3,6}}<\sqrt{\frac{11}{6}}\cdot \sqrt{\frac{6}{3}}<\frac{\sqrt{64}}{4}$

Наибольшее число $\frac{\sqrt{64}}{4}$. Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

 

№11. Какое из чисел больше: $2+\sqrt{11}$ или $\sqrt{5}+\sqrt{10}$?
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}$
2. $2+\sqrt{11}=\sqrt{5}+\sqrt{10}$
3. $2+\sqrt{11}>\sqrt{5}+\sqrt{10}$

Решение:

Сравним квадраты иррациональных выражений.

$2+\sqrt{11}?\sqrt{5}+\sqrt{10}$

${\left(2+\sqrt{11}\right)}^2?{\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)}^2$

$2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{11}+{\left(\sqrt{11}\right)}^2?$ ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{10}+{\left(\sqrt{10}\right)}^2$

$4+11+4\sqrt{11}?5+10+2\sqrt{50}$

$\cancel{15}+4\sqrt{11}?\cancel{15}+2\sqrt{50}$

${\left(4\sqrt{11}\right)}^2?{\left(2\sqrt{50}\right)}^2$

$16\cdot 11?4\cdot 50$

$176<200$

                   $\Downarrow$

$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}$

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

 

№12. Сравните числа $12$ и $\sqrt{37}+\sqrt{35}$.
(В ответе укажите номер правильного варианта).

1. $12>\sqrt{37}+\sqrt{35}$
2. $12=\sqrt{37}+\sqrt{35}$
3. $12<\sqrt{37}+\sqrt{35}$

Решение:

Сравним квадраты заданных выражений:

$12?\sqrt{37}+\sqrt{35}$

${\left(12\right)}^2?{\left(\sqrt{37}+\sqrt{35}\right)}^2$

$144?{\left(\sqrt{37}\right)}^2+2\cdot \sqrt{37}\cdot \sqrt{35}+{\left(\sqrt{35}\right)}^2$

$144?37+35+2\cdot \sqrt{37}\cdot \sqrt{35}$

$144?72+2\cdot \sqrt{37}\cdot \sqrt{35}$

$144-72?2\cdot \sqrt{37\cdot 35}$

$\frac{72}{2}?\frac{2\cdot \sqrt{1295}}{2}$

${36}^2?{\left(\sqrt{1295}\right)}^2$

$1296>1295$

              $\Downarrow$

$12>\sqrt{37}+\sqrt{35}$

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1