Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности

 

Оглавление страницы:

 

Статистика. Числовые характеристики ряда чисел

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Пример:

  • Вычислить среднее арифметическое данных чисел:  6, 10, 16, 20.

Среднее арифметрическое: ( 6 + 10 + 16 + 20 ) 4 = 52 4 = 13

 

Медиана ряда чисел – это число, стоящее посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду нечётное.

Пример:

  • Найти медиану ряда чисел:  12, 2, 11, 3, 7, 10, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):  2, 3, 3,  7 , 10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число 7.

 

Медиана ряда чисел – это полусумма двух стоящих посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду чётное.

Пример:

  • Найти медиану ряда чисел:  8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):   2, 3,  7 , 10 , 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: 7 и 10.

Их полусумма равна: 7 + 10 2 = 17 2 = 8,5

 

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Пример:

  • Найти размах ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Наибольшее значение ряда: 16. Наименьшее значение ряда: 1.

Размах:  16 1 = 15

 

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Примеры:

  1. Найти моду ряда: 1,  5,  6,  3 , 10,  32,  4,  3

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: 3.

Данный ряд имеет моду: 3.

  1. Найти моду ряда: 5, 2, 3, 4, 1, 0, 8

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

  1. Найти моду ряда: 9 , 1 , 4 , 10 , 17 , 1 , 33 , 6 , 9 , 8 , 5 , 5

Числа 1, 5, встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: 1, 5, 9.

 

Вероятности

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Примеры:

  1. Какова частота события «выпал орёл», если в серии опытов из 20 бросков монеты решка выпала 8 раз?

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20 8 = 12 раз.

Частота: 12 20 = 6 10 = 0,6

  1. Какова частота события «выпало чётное число очков» в серии опытов из восьми бросков кубика, если результаты представлены в виде числового ряда: 3, 2, 3, 5, 1, 1, 6, 4

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: 3 8 = 0,375

 

Каждое случайное событие делится на несколько элементарных исходов.  Они делятся на благоприятные исходы и неблагоприятные исходы.

Например, для события «выпало четное число очков» при броске кубика:

  • Благоприятные исходы:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

  • Неблагоприятные исходы:

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

Все возможные исходы = благоприятные исходы + неблагоприятные исходы.

 

Вероятность случайного события P ( A ) – это отношение благоприятных исходов m к общему числу исходов n. P ( A ) = m n

Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1. 0 P ( A ) 1

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

Примеры:

  1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: m = 0 , так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать кролика», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 0 3 = 0

 

  1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 3 = 1

 

  1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: n = 3 + 9 = 12 , так как всего в шляпе 12 объектов, которые можно достать.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 12 = 0,25

 

Событие A ¯ называется противоположным событию A, если событие A ¯ происходит тогда, когда событие A не происходит (то есть вместо события A происходит событие A ¯ ).

Примеры противоположных событий:

  1. A : «купить молоко», A ¯ : «не купить молоко»
  1. A : «прибор исправен», A ¯ : «прибор неисправен»
  1. A : «выпал орёл», A ¯ : «выпала решка»
  1. A : «на игральной кости выпало нечетное число», A ¯ : «на игральной кости выпало чётное число»

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P ( A ¯ ) = 1 P ( A )

Примеры:

  1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,28. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Пусть событие A: «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: A ¯ : «ручка пишет хорошо»

P ( A ) = 0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P ( A ¯ ) = 1 P ( A ) = 1 0,28 = 0,72

 

  1. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Пусть событие A: «фонарик неисправен»

Противоположное событие A ¯ : «фонарик исправен»

P ( A ) = 8 100 = 0,08

P ( A ¯ ) = 1 P ( A ) = 1 0,08 = 0,92

Ответ: 0,92

Теоремы о вероятностных событиях

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

Примеры несовместных событий:

  • Выпадение 1, выпадение 5, выпадение 6 при бросании кости

За один бросок может выпасть либо 1, либо 5, либо 6. Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

  • Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

Примеры:

  1. Паша на экзамене вытягивает билет. Все билеты относятся к одной из трех тем: «углы», «треугольники», «четырехугольники». Вероятность того, что Паше попадется билет по теме «треугольники» равна 0,22, вероятность того, что ему попадется билет по теме «четырехугольники» равна 0,31, вероятность того, что ему попадется билет по теме «углы» равна 0,47. Паша знает тему «углы» и тему «треугольники», но «четырехугольники» вызывают у него затруднения. Найдите вероятность того, что ему попадется билет по теме «треугольники» или по теме «углы».

Решение:

Событие A = «вытащить билет по теме углы» и событие B = «вытащить билет по теме треугольники» — несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

P ( A + B ) = 0,47 + 0,22 = 0,69

Ответ: 0,69

  1. Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна 0,001, вероятность выиграть денежный приз 0,013, вероятность выиграть сувенир 0,04. Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Событие A = «выиграть машину», событие B = «выиграть денежный приз» и событие C = «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C )

P ( A + B + C ) = 0,001 + 0,013 + 0,04 = 0,054

Ответ: 0,054

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случает события называются зависимыми.

Примеры независимых событий:

  • Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна 1 6 , при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна 1 6 . Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью 1 6 , вне зависимости от того, что выпадало до этого.

  • Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при втором броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при третьем броске вероятность выпадения орла равна 0,5. Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью 0,5, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Примеры зависимых событий:

  • В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар — два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна 3 5 (всего шаров 5, синих 3). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна 2 4 = 1 2 (всего шаров 4, синих 2). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P ( A B ) = P ( A ) P ( B )

Примеры:

  1. В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Событие A: «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие B: «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P ( A ) = 1 2    (всего шаров два, красных — один).

P ( B ) = 4 5    (всего шаров пять, красных четыре).

P ( A B ) = P ( A ) P ( B )

P ( A B ) = 1 2 4 5 = 0,4

Ответ: 0,4

  1. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

Событие A: «попадание», событие B: «промах». По условию P ( A ) = 0,9. Найдём вероятность промаха, она равна

P ( B ) = 1 P ( A ) = 1 0,9 = 0,1

Каждый из выстрелов — событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события — независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P ( A A B ) = P ( A ) P ( A ) P ( B )

P ( A A B ) = 0,9 0,9 0,1 = 0,081

Ответ: 0,081

Симметричная монета в теории вероятности

Симметричная монета: Орёл Симметричная монета: Решка

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 1 2 = 0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 1 4 = 0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 1 8 = 0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 1 16 = 0,0625

Примеры:

  1. Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

P = 3 8 = 0,375

Ответ: 0,375

 

  1. Cимметричную монету бросают четыре раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы два раза.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы — те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

P = 11 16 = 0,6875

Ответ: 0,6875

 

Симметричная игральная кость в теории вероятности

Симметричная игральная кость

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна 1 6 .

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Симметричная игральная кость: возможные варианты выпадения очков при бросании двух костей

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Симметричная игральная кость: сумма очков при бросании двух костей - все варианты

Примеры:

  1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет равна 7?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятных вариантов — когда сумма очков будет равна семи — всего 6.

P = 6 36 = 1 6

Ответ: 1 6

 

  1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет меньше десяти?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятные варианты — когда сумма очков будет равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, или 9. Таких ячеек в таблице 30.

P = 30 36 = 5 6

Ответ: 5 6