Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

 

Содержание страницы:

 

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x — переменная, a и b некоторые числа, причем a 0 .

Примеры:

  1. 3 x = 2
  1. 2 7 x = 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение линейное.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного уравнения: x = b a .

Примеры:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x 4 x = 2 1

2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

2 x 2 = 1 2 = 1 2 = 0,5

Ответ: x = 0,5

 

  1. x 2 1 = 0

Это уравнение не является линейным, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

 

  1. x ( x + 3 ) 8 = x 1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x 8 = x 1

Это уравнение не является линейным.

 

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

  1. 2 x 4 = 2 ( x 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x 4 = 2 x 4

2 x 2 x = 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом.

Ответ: x ( ; + )

 

  1. 2 x 4 = 2 ( x 8 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x 4 = 2 x 16

2 x 2 x = 16 + 4

0 = 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным.

Ответ: x

 

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x — переменная, a , b и c — некоторые числа, причем a 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = b = c =
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = b 2 a
  6. Если D < 0, решений нет: x

Примеры:

  1. x 2 + 6 x + 7 = 0

a = 1, b = 6, c = 7

D = b 2 4 a c = 6 2 4 ( 1 ) 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 — будет два различных корня:

x 1,2 = b ± D 2 a = 6 ± 64 2 ( 1 ) = 6 ± 8 2 = [ 6 + 8 2 = 2 2 = 1 6 8 2 = 14 2 = 7

Ответ: x 1 = 1, x 2 = 7

 

  1. x 2 + 4 x 4 = 0

a = 1, b = 4, c = 4

D = b 2 4 a c = 4 2 4 ( 1 ) ( 4 ) = 16 16 = 0

D = 0 — будет один корень:

x = b 2 a = 4 2 ( 1 ) = 4 2 = 2

Ответ: x = 2

 

  1. 2 x 2 7 x + 10 = 0

a = 2, b = 7, c = 10

D = b 2 4 a c = ( 7 ) 2 4 2 10 = 49 80 = 31

D < 0 — решений нет.

Ответ: x

 

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ( x x 1 ) ( x x 2 )

где a — число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x — переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 — числа, корни уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ( x x 0 ) 2

Примеры:

  1. x 2 + 6 x + 7 = 0 x 1 = 1, x 2 = 7

x 2 + 6 x + 7 = ( 1 ) ( x ( 1 ) ) ( x 7 ) = ( x + 1 ) ( x 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 x )

 

  1. x 2 + 4 x 4 = 0 ; x 0 = 2

x 2 + 4 x 4 = ( 1 ) ( x 2 ) 2 = ( x 2 ) 2

 

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

  • c = 0 a x 2 + b x = x ( a x + b )
  • b = 0 применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

 

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) — некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решать дробно рациональные уравнения, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример:

Решить рациональное уравнение x 2 4 2 x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 4 2 x 1 \ 2 x = 0

x 2 4 2 x 2 x 2 x = 0

x 2 4 ( 2 x ) 2 x = 0

x 2 4 2 + x 2 x = 0

x 2 + x 6 2 x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

  1. Выписать ОДЗ:

g ( x ) 0

2 x 0

x 2

x 2

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x 2

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x 6 = 0 — Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = 6

D = b 2 4 a c = 1 2 4 1 ( 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 — будет два различных корня.

x 1,2 = b ± D 2 a = 1 ± 25 2 1 = 1 ± 5 2 = [ 1 + 5 2 = 4 2 = 2 1 5 2 = 6 2 = 3

[ x 1 = 2 x 2 = 3

 

  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

[ x 1 = 2 x 2 = 3

ОДЗ: x 2

Значит, в ответ идет только один корень, x = 3.

Ответ: x = 3.

 

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Решить систему уравнений — найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 2 y 3 x y = 4

  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 2 y 3 x y = 4

{ x = 8 2 y 3 ( 8 2 y ) y = 4

  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 2 y ) y = 4

24 6 y y = 4

7 y = 4 24

7 y = 28

y = 28 7 = 28 7 = 4

y = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4

x = 8 2 y = 8 2 4 = 8 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

  1. x = 0, y = 4
  2. { x = 0 y = 4
  3. ( 0 ; 4 )

 

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

{ a = b c = d

то

( a + c ) = ( b + d )

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( 3 ) .

{ x + 2 y = 8 | ( 3 ) 3 x y = 4

{ ( 3 ) ( x + 2 y ) = ( 3 ) 8 3 x y = 4

{ 3 x 6 y = 24 3 x y = 4

Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

{ 3 x 6 y = 24 3 x y = 4

( 3 x 6 y ) + ( 3 x y ) = ( 24 ) + ( 4 )

3 x 6 y + 3 x y = 24 4

7 y = 28

y = 28 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

x + 2 y = 8

x + 2 4 = 8

x + 8 = 8

x = 8 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

  1. x = 0, y = 4
  2. { x = 0 y = 4
  3. ( 0 ; 4 )

 

Задание №4 из ОГЭ. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку 4.