Алгебра. Урок 4. Задания. Часть 1.

№1. Найдите корни уравнения 2 3 ( 2 x + 2 ) = 5 4 x .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

Раскрываем скобки:

2 3 ( 2 x + 2 ) = 5 4 x

2 6 x 6 = 5 4 x

Переносим иксы влево, числа вправо:

6 x + 4 x = 5 + 6 2

2 x = 9

x = 9 2 = 9 2 = 4,5

Ответ: -4,5

 

№2. При каком значении x значения выражений 7 x 2 и 3 x + 6 равны?

Решение:

Приравниваем эти два выражения:

7 x 2 = 3 x + 6

7 x 3 x = 6 + 2

4 x = 8

x = 8 4 = 2

Ответ: 2

 

№3. Решите уравнение ( 5 x + 3 ) ( x + 6 ) = 0.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.

( 5 x + 3 ) ( x + 6 ) = 0 [ 5 x + 3 = 0 x + 6 = 0 [ 5 x = 3 ; x = 6 ; [ x = 3 5 = 3 5 = 0,6 x = 6 1 = 6 1 = 6

В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 < 6.

Ответ: 0,6; 6

 

№4. Решите уравнение ( x 4 ) 2 + ( x + 9 ) 2 = 2 x 2 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):

x 2 2 x 4 + 4 2 + x 2 + 2 x 9 + 9 2 2 x 2 = 0

Замечаем, что x 2 сокращается:

x 2 8 x + 4 2 + x 2 + 18 x + 9 2 2 x 2 = 0

8 x + 18 x + 16 + 81 = 0

10 x + 97 = 0

10 x = 97

x = 97 10 = 9,7

Ответ: -9,7

 

№5. Квадратный трёхчлен разложен на множители: x 2 + 6 x 27 = ( x + 9 ) ( x a ) . Найдите a .

Решение:

Для начала необходимо приравнять квадратных трехчлен к нулю, чтобы найти x 1 и x 2 .

x 2 + 6 x 27 = 0

a = 1, b = 6, c = 27

D = b 2 4 a c = 6 2 4 1 ( 27 ) = 36 + 108 = 144

D > 0 — значит будет два различных корня.

x 1,2 = b ± D 2 a = 6 ± 144 2 1 = [ 6 + 12 2 = 6 2 = 3 6 12 2 = 18 2 = 9

Зная корни разложим квадратный трехчлен на множители:

x 2 + 6 x 27 = ( x ( 9 ) ) ( x 3 ) = ( x + 9 ) ( x 3 )

Ответ: 3

 

№6. Уравнение x 2 + p x + q = 0 имеет корни 5 ; 7. Найдите q .

Решение:

1 способ: (надо знать, как раскладывается квадратный трехчлен на множители)

Если x 1 и x 2 — корни квадратного трехчлена a x 2 + b x + c , то его можно разложить на множители следующим образом: a x 2 + b x + c = a ( x x 1 ) ( x x 2 ) .

Поскольку в заданном квадратном трехчлене старший коэффициент (множитель перед x 2 ) равен единице, то разложение будет следующим:

x 2 + p x + q = ( x x 1 ) ( x x 2 ) = ( x ( 5 ) ) ( x 7 ) = ( x + 5 ) ( x 7 ) = x 2 7 x + 5 x 35 = x 2 2 x 35

x 2 + p x + q = x 2 2 x 35 p = 2, q = 35

Ответ: -35

 

2 способ: (надо знать теорему Виета)

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + p x + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .

{ x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q

q = x 1 x 2 = ( 5 ) 7 = 35.

Ответ: -35

 

№7. Решите уравнение ( x + 10 ) 2 = ( 5 x ) 2 .

Решение:

Раскроем скобки, используя ФСУ.

( x + 10 ) 2 = ( 5 x ) 2

x 2 + 2 x 10 + 10 2 = 5 2 2 5 x + x 2

x 2 + 20 x + 100 = 25 10 x + x 2

x 2 + 20 x + 100 x 2 + 10 x 25 = 0

30 x + 75 = 0

30 x = 75

Ответ: -2,5