Алгебра. Урок 6. Прогрессии

 

Содержание страницы:

 

Числовые последовательности

Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.

a n = f ( n ) , n Примеры числовых последовательностей:

  1. Натуральные числа: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;
  1. Квадраты натуральных чисел: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;
  1. Все целые числа от -3 до 3 : 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.

Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.

Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).

  1. Натуральные числа:

a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5,

  1. Квадраты натуральных чисел:

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25,

  1. Все целые числа от -3 до 3 :

a 1 = 3, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = 0, a 5 = 1, a 6 = 2, a 7 = 3.

Последовательности могут быть бесконечными ( 1 и 2 ) и конечными ( 3 ) .

 

Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:

  1. Словесный. Последовательность описывается словами.

Примеры:

  • натуральные числа,
  • квадратуры натуральных чисел,
  • все целые числа от -3 до 3 .
  1. Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: a n = f ( n ) . По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Примеры:

  • a n = n последовательность натуральных чисел,
  • a n = n 2 последовательность квадратов натуральных чисел,
  • a n = n 4, n [ 1 ; 7 ] последовательность целых чисел от -3 до 3 .
  1. Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Примеры:

  • a 1 = 1, a n + 1 = a n + 1 последовательность натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a 1 = 1

n = 1, a n + 1 = a n + 1 a 2 = a 1 + 1 = 1 + 1 = 2

n = 2, a n + 1 = a n + 1 a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 3

n = 3, a n + 1 = a n + 1 a 4 = a 3 + 1 = 3 + 1 = 4

n = 4, a n + 1 = a n + 1 a 5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5

и так далее…

  • a 1 = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 последовательность квадратов натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a 1 = 1 ;

n = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 a 2 = ( a 1 + 1 ) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 4

n = 2, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 a 3 = ( a 2 + 1 ) 2 = ( 4 + 1 ) 2 = 3 2 = 9

n = 3, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 a 4 = ( a 3 + 1 ) 2 = ( 9 + 1 ) 2 = 4 2 = 16

n = 4, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 a 5 = ( a 4 + 1 ) 2 = ( 16 + 1 ) 2 = 5 2 = 25

и так далее…

  • a 1 = 3, a n + 1 = a n + 1, a n 3 последовательность целых чисел от -3 до 3 .

a 1 = 3 ; a n 3

a n + 1 = a n + 1 a 2 = a 1 + 1 = 3 + 1 = 2 ; 2 3

a n + 1 = a n + 1 a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 1 ; 1 3

a n + 1 = a n + 1 a 4 = a 3 + 1 = 1 + 1 = 0 ; 0 3

a n + 1 = a n + 1 a 5 = a 4 + 1 = 0 + 1 = 1 ; 1 3

a n + 1 = a n + 1 a 6 = a 5 + 1 = 1 + 1 = 2 ; 2 3

a n + 1 = a n + 1 a 7 = a 6 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 3 3

a n + 1 = a n + 1 a 8 = a 7 + 1 = 3 + 1 = 4 ; 4 3

Последний член последовательности будет a 7 , так как a 8 не удовлетворяет условию a n 3

 

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией { a n } называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Разностью d арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.

d = a n + 1 a n

Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , будет являться арифметической прогрессией, если:

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a n = a n 1 + d

Арифметическая прогрессия может быть

  • возрастающей, если d > 0 ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; )
  • убывающей, если d < 0 ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; )
  • стабильной (постоянной), если d = 0 ( 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; )

Примеры арифметической прогрессии:

  1. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; a 1 = 1, d = 2
  2. 10 ; 5 ; 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; a 1 = 10, d = 5
  3. 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; a 1 = 4, d = 0

 

Формулы арифметической прогрессии

Определение:

(1) a n + 1 = a n + d

Разность:

(2) d = a n + 1 a n

Формула n-го члена:

(3) a n = a 1 + ( n 1 ) d

Сумма n первых членов:

(4) S n = a 1 + a n 2 n

Свойства:

(5) a n = a n 1 + a n + 1 2

(6) a n = a n k + a n + k 2

 

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией { b n } называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.

Знаменателем q геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.

q = b n + 1 b n

В геометрической прогрессии есть ограничения: b 1 0, q 0.
Числовая последовательность b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , будет являться геометрической прогрессией, если: b 2 = b 1 q b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b n = b n 1 q = b 1 q n 1

Геометрическая прогрессия может быть

  • возрастающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя больше единицы, т.е. | q | > 1 ;
  • убывающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя меньше единицы, т.е. | q | < 1 ;
  • знакопеременной, если знаменатель меньше нуля, т.е. q < 0.

Примеры геометрической прогрессии:

  1. 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; b 1 = 1, q = 3
  2. 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; b 1 = 8, q = 1 2
  3. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; b 1 = 1, q = 2

 

Формулы геометрической прогрессии

Определение:

(1) a n + 1 = a n + d

Знаменатель:

(2) q = b n + 1 b n

Формула n-го члена:

(3) b n = b 1 q n 1

Сумма n первых членов:

(4) S n = b 1 ( q n 1 ) q 1

Свойства:

(5) b n = b n 1 b n + 1

(6) b n = b n k b n + k

 

Задание №6 из ОГЭ. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку 6.