Алгебра. Урок 7. Алгебраические выражения

Для того, чтобы упрощать выражения, выполнять с ними различные преобразования, необходимо знать формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Квадрат суммы

(1) ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Пример:

( 3 x + 4 y ) 2 = ( 3 x ) 2 + 2 3 x 4 y + ( 4 y ) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

 

Квадрат разности

(2) ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2

Пример:

( 5 x 2 y ) 2 = ( 5 x ) 2 2 5 x 2 y + ( 2 y ) 2 = 25 x 2 20 x y + 4 y 2

 

Сумма квадратов не раскладывается на множители

a 2 + b 2

 

Разность квадратов

(3) a 2 b 2 = ( a b ) ( a + b )

Пример:

25 x 2 4 y 2 = ( 5 x ) 2 ( 2 y ) 2 = ( 5 x 2 y ) ( 5 x + 2 y )

 

Куб суммы

(4) ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Пример:

( x + 3 y ) 3 = ( x ) 3 + 3 ( x ) 2 ( 3 y ) + 3 ( x ) ( 3 y ) 2 + ( 3 y ) 3 = x 3 + 3 x 2 3 y + 3 x 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

 

Куб разности

(5) ( a b ) 3 = a 3 3 a 2 b + 3 a b 2 b 3

Пример:

( x 2 2 y ) 3 = ( x 2 ) 3 3 ( x 2 ) 2 ( 2 y ) + 3 ( x 2 ) ( 2 y ) 2 ( 2 y ) 3 = x 2 3 3 x 2 2 2 y + 3 x 2 4 y 2 8 y 3 = x 6 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 8 y 3

 

Сумма кубов

(6) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 a b + b 2 )

Пример:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = ( 2 + x ) ( 2 2 2 x + x 2 ) = ( x + 2 ) ( 4 2 x + x 2 )

 

Разность кубов

(7) a 3 b 3 = ( a b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Пример:

x 6 27 y 3 = ( x 2 ) 3 ( 3 y ) 3 = ( x 2 3 y ) ( ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) ( 3 y ) + ( 3 y ) 2 ) = ( x 2 3 y ) ( x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2 )

 

Существует насколько методов разложения выражения на множители:

  1. Вынесение общего множителя за скобки.
  1. Группировка слагаемых.
  1. Применение ФСУ.

Более подробно вспомнить применение формул сокращенного умножения (ФСУ) можно в уроке №3.

 

Задание №7 из ОГЭ. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку 7.