Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

 

Содержание страницы:

 

Тригонометрические функции
в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

Прямоугольный треугольник

sin A = C B A B

cos A = A C A B

tg A = sin A cos A = C B A C

ctg A = cos A sin A = A C C B

sin B = A C A B

cos B = B C A B

tg B = sin B cos B = A C C B

ctg B = cos B sin B = C B A C

 

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть S O A = α = S A .

Тригонометрический круг

 

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Синус и косинус на тригонометрическом круге

 

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

 

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α — тупой, то есть больше 90 ° :

Тригонометрический круг, тупой угол

 

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x. Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Тригонометрический круг, значения углов

 

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = 3 2

sin 150 ° = 1 2

 

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

 

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

Основное тригонометрическое тождество, тригонометрический круг

 

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

 

Таблица значений тригонометрических функций

 

0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

 

Формулы приведения

Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

Тригонометрический круг, формулы приведения

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° 60 ° ) = sin 60 °

 

cos 180 ° = cos ( 180 ° 0 ° ) = cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° 30 ° ) = cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° 45 ° ) = cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° 60 ° ) = cos 60 °

 

Рассмотрим тупой угол β:

Смежные углы

 

Для произвольного тупого угла β = 180 ° α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° α ) = sin α

cos ( 180 ° α ) = cos α

tg ( 180 ° α ) = tg α

ctg ( 180 ° α ) = ctg α

 

Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Треугольник ABC

 

a sin A = b sin B = c sin C

 

Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

Треугольник ABC, описанная окружность радиуса R

 

a sin A = b sin B = c sin C = 2 R

 

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Треугольник ABC

 

a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos B

c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos C

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.