Геометрия. Урок 1. Задания. Часть 1.

№1. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 20 3 , а сторона AB равна 40. Найдите cos B .

Решение:

Рассмотрим A B H :

cos B = B H A B

Найдем BH по теореме Пифагора:

B H 2 + A H 2 = A B 2

B H 2 + ( 20 3 ) 2 = 40 2

B H 2 + 20 2 ( 3 ) 2 = 1600

B H 2 = 1600 400 3

B H 2 = 1600 1200

B H 2 = 400

B H = ± 400 = [ 20 не подходит 20 подходит

cos B = B H A B = 20 40 = 0,5

Ответ: 0,5

 

№2. В треугольнике A B C стороны A B = B C , а высота A H делит сторону B C на отрезки B H = 64 и C H = 16 . Найдите cos B .

Решение:

A B = B C = 64 + 16 = 80

Рассмотрим A B H :

cos B = B H A B = 64 80 = 0,8

Ответ: 0,8

 

№3. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65 ° и 85 ° . Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 14.

Решение:

Найдем неизвестный A

A + 65 ° + 85 ° = 180 °

A = 180 ° 65 ° 85 °

A = 30 °

Применим теорему синусов:

B C sin A = 2 R

B C sin 30 ° = 2 14

B C 0,5 = 28

B C = 28 0,5 = 14

Ответ: 14

 

№4. В треугольнике ABC угол C прямой, B C = 8, sin A = 0,4 . Найдите AB.

Решение:

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin A = B C A B

0,4 = 8 A B | A B

0,4 A B = 8

A B = 8 ÷ 0,4

A B = 8 ÷ 4 10 = 8 10 4 = 80 4 = 20

Ответ: 20

 

№5. В треугольнике ABC угол C прямой. A C = 15, cos A = 5 7 Найдите AB.

Решение:

Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos A = A C A B

5 7 = 15 A B

Вспоминаем основное свойство пропорции:

a b = c d a d = b c

5 A B = 7 15

A B = 7 15 5 = 21

Ответ: 21

 

№6. В треугольнике ABC угол C прямой, A C = 20, tg A = 0,5. Найдите BC.

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg A = B C A C

0,5 = B C 20 | 20

0,5 20 = B C

B C = 10

Ответ: 10

 

№7. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Решение:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Значит наименьший угол будет лежать против меньшей стороны – это B.

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin B = A C A B

Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

A B 2 = A C 2 + C B 2

A B 2 = 1 2 + ( 15 ) 2

A B 2 = 1 + 15 = 16

A B = ± 16 = [ 4 не подходит 4 подходит

A B = 4

sin B = 1 4 = 0,25

Ответ: 0,25