Геометрия. Урок 7. Практические задачи по геометрии

 

Содержание страницы:

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, а стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобие треугольников обозначается значком «∼». Запишем подобие двух треугольников:

A B C A 1 B 1 C 1

Соответственные стороны двух подобных треугольников – это стороны, которые лежат напротив равных углов.

 

Подобные треугольники

 

Пары равных углов:

A и A 1

B и B 1

C и C 1

Пары соответственных сторон:

B C и B 1 C 1

A C и A 1 C 1

A B и A 1 B 1

Представьте себе, что на смартфоне или планшете вы открыли изображение треугольника. Вы захотели получше его рассмотреть и увеличили изображение. Сам треугольник увеличился, но его пропорции сохранились (он не сплюснулся, не вытянулся, просто стал больше). Вот такие два треугольника: исходный и увеличенный будут подобными. Масштаб увеличенной картинки изменился в k. Это число k будет являться коэффициентом подобия этих треугольников.

Коэффициент подобия k это число, равное отношению соответственных сторон подобных треугольников.

 

Подобные треугольники: коэффициент подобия

 

k = A 1 B 1 A B = A 1 C 1 A C = B 1 C 1 B C
  • Если стороны большего треугольника относить к сторонам меньшего треугольника, то коэффициент подобия k > 1.
  • Если стороны меньшего треугольника относить к сторонам большего треугольника, то коэффициент подобия k < 1.

 

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

P A 1 B 1 C 1 P A B C = k

 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S A 1 B 1 C 1 S A B C = k 2

 

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Первый признак подобия треугольников

 

A = A 1 B = B 1 | A B C A 1 B 1 C 1

 

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

Второй признак подобия треугольников

 

A = A 1 A 1 B 1 A B = A 1 C 1 A C = k | A B C A 1 B 1 C 1

 

Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Третий признак подобия треугольников

 

A 1 B 1 A B = A 1 C 1 A C = B 1 C 1 B C = k A B C A 1 B 1 C 1

 

Задачи про часы и стрелки

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых необходимо найти угол между часовой и минутной стрелкой. Давайте разберёмся, как их решать.

Часовой циферблат – это окружность.

Градусная мера всей окружности равна 360 ° .

Стрелки – стороны центральных углов.

На окружности 60 маленьких делений и 12 больших.

Каждое маленькое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360 ° 60 = 6 ° .

Каждое большое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360 ° 12 = 30 ° .

Можно рассуждать, что одна большая дуга содержит пять маленьких, то есть её градусная мера равна 6 ° 5 = 30 ° .

 

Часы: одна минута в градусах, пять минут в градусах

 

Задачи про колесо со спицами

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых дано колесо со спицами и требуется определить либо угол между соседними спицами (если дано количество спиц), либо количество спиц (если дан угол между соседними спицами). Будем разбираться, как такие задачи решать.

Пусть у нас есть колесо, в котором n спиц. Тогда эти спицы образуют n равных центральных углов α .

 

Колесо со спицами: угол между соседними спицами

 

Формула, которая связывает количество спиц и угол между двумя соседними:

α n = 360 °

 

Задачи на лестницу и ступеньки

В задаче данного типа дана лестница, состоящая из n ступенек. Каждая ступенька характеризуется своей высотой (вертикальный отрезок) и длиной (горизонтальный отрезок). Сама лестница характеризуется своей длиной (отрезок AC), высотой (отрезок BC) и отрезком AB.

 

Лестница и ступеньки: высота ступеньки, длина ступеньки, высота лестницы, длина лестницы, расстояние AB

 

Высота всей лестницы – количество ступенек, умноженное на высоту одной ступеньки. Длина всей лестницы – количество ступенек, умноженное на длину одной ступеньки. Для нахождения длины лестницы необходимо применить теорему Пифагора.

 

Задачи на нахождение длин и площадей

Теоретический и практический материал по нахождению площадей треугольников и четырехугольников можно найти в уроках 3 и 4 модуля геометрия.

Перейти по ссылкам: