Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 1.

 

№1. В равностороннем треугольнике A B C биссектрисы C N и A M пересекаются в точке P . Найдите M P N .

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 ° . Значит B = 60 ° .

Биссектрисы в нём являются и высотами.

Рассмотрим четырехугольник B N P M .

В нём известны три угла. Сумма углов четырехугольника 360 ° .

N P M = 360 ° 90 ° 90 ° 60 ° = 120 °

Ответ: 120

 

№2. В равнобедренном треугольнике A B C с основанием A C внешний угол при вершине C равен 120 ° . Найдите величину угла A B C .

Решение:

B C A является смежным с B C D .

B C A = 180 ° 120 ° = 60 °

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:

B A C = B C A = 60 °

В треугольнике A B C неизвестен один угол. Сумма углов треугольника равна 180 ° .

B = 180 ° 60 ° 60 ° = 60 °

Ответ: 60

 

№3. Площадь равнобедренного треугольника равна 196 3 . Угол, лежащий напротив основания равен 120 ° . Найдите длину боковой стороны.

Решение:

1 способ:

Проведем из вершины B высоту B D к основанию A C .

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой. A B D — прямоугольный треугольник.

Катет B D лежит напротив угла, равного 30 ° .

Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.

Обозначим B D = x . Значит A B =   2 x .

Применим теорему Пифагора:

A D 2 + x 2 = ( 2 x ) 2

A D 2 = 4 x 2 x 2 = 3 x 2

A D = ± 3 x 2 = [ x 3 не подходит x 3 подходит

A D = x 3

Сторона A C = 2 A D = 2 x 3 = 2 3 x

S A B C = 1 2 A C B D

1 2 2 3 x x = 196 3

x 2 = 196

x = ± 196 = [ 14 не подходит 14 подходит

x = 14

Боковая сторона равна 2 x = 2 14 = 28

Ответ: 28

 

2 способ:

Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

S A B C = 1 2 A B B C sin 120 °

Поскольку A B = B C , получим:

1 2 A B 2 3 2 = 196 3

1 4 A B 2 = 196 | 4

A B 2 = 196 4

A B = ± 196 4 = ± 196 4 = ± 14 2 = [ 28 не подходит 28 подходит

A B = 28

Ответ: 28

 

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание 96. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Обозначим их за x.

Периметр треугольника – это сумма длин всех сторон.

x + x + 96 = 196

2 x = 196 96

2 x = 100 | ÷ 2

x = 50

Проведем высоту B D , которая будет являться медианой. Значит:

A D = D C = 96 2 = 48

Запишем теорему Пифагора для A B D :

A D 2 + B D 2 = A B 2

48 2 + B D 2 = 50 2

B D 2 = 2500 2304

B D 2 = 196

B D = ± 196 = [ 14 не подходит 14 подходит

B D = 14

S A B C = 1 2 A C B D = 1 2 96 14 = 672

Ответ: 672

 

№5. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что CAB=80° и ACB=59°. Найдите угол DCB.

Решение:

Поскольку AD=AC, ADC — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит .

A D C = A C D = x .

Сумма углов в A D C равна 180 ° . Составим уравнение:

x + x + 80 ° = 180 °

2 x = 100 ° | ÷ 2

x = 50 °

A D C = A C D = 50 °

A C D + D C B = A C B

50 ° + α = 59 °

α = 9 °

Ответ: 9

 

№6. Высота равностороннего треугольника равна 153. Найдите его периметр.

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а все стороны равны.

Обозначим стороны за x.

Высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой.

Отрезок A D = x 2 .

Применим теорему Пифагора в A B D :

x 2 = ( x 2 ) 2 + ( 15 3 ) 2

x 2 x 2 4 = 15 2 ( 3 ) 2

4 x 2 4 x 2 4 = 225 3

3 x 2 4 = 225 3

x 2 4 = 225 | 4

x 2 = 225 4 = 900

x = ± 900 = [ 30 не подходит 30 подходит

x = 30

P = 30 + 30 + 30 = 90

Ответ: 90

 

№7. В треугольнике ABC A B = B C = 53, A C = 56. Найдите длину медианы BM.

Решение:

M – середина стороны AC, значит:

A M = M C = A C 2 = 56 2 = 28

Медиана BM, проведенная к основанию в равнобедренном ABC является также высотой.

Применим теорему Пифагора в A B M :

28 2 + x 2 = 53 2

x 2 = 2809 784 = 2025

x = ± 2025 = [ 45 не подходит 45 подходит

B M = 45

Ответ: 45

 

№8. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:

Площадь треугольника находится по формуле:

S = 1 2 a h a , где a – сторона , ha — высота к стороне.

S A B C = 1 2 B C A A 1 = 1 2 A B C 1 C

1 2 2 x = 1 2 16 1

x = 8

Ответ: 8

 

№9. В треугольнике ABC проведены медиана BM и BH. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

Решение:

BM — медиана в A B C .

M — середина стороны AC.

A M = M C = A C 2 = 84 2 = 42

Поскольку BC=BM MBC — равнобедренный.

BH является высотой и медианой в MBC, значит:

M H = H C = M C 2 = 42 2 = 21

A H = A M + M H

A H = 42 + 21 = 63

Ответ: 63