Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 2.

№10. В треугольнике A B C B M – медиана и B H – высота. Известно, что A C = 216, H C = 54 и A C B = 40 ° . Найдите угол A B M .

Решение:

Точка M – середина стороны A C . Отрезки A M и M C равны.

A M = M C = A C 2 = 216 2 = 108

M H + H C = M C

x + 54 = 108

x = 54

В M H C B H является высотой и медианой, значит M H C — равнобедренный.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

B C H = B M C = 40 °

B M A является смежным с B M C . Сумма смежных углов равна 180 ° .

α + 40 ° = 180 °

α = 180 ° 40 ° = 140 °

Ответ: 140

 

№11. Точки M и N являются серединами сторон A B и B C треугольника A B C , сторона A B = 66 , сторона B C = 37 , сторона A C = 74 . Найдите M N .

Решение:

M N – средняя линия в A B C , параллельная стороне A C .

M N = 1 2 A C = 74 2 = 37

Ответ: 37

 

№12. Площадь прямоугольного треугольника равна 722 3 . Один из острых углов равен 30 ° . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Катет B C лежит напротив угла, равного 30 ° .

Катет, лежащий напротив угла 30 ° равен половине гипотенузы.

Обозначим катет B C = x , тогда A B = 2 x .

Применим теорему Пифагора, чтобы выразить A C через x :

A C 2 + x 2 = ( 2 x ) 2

A C 2 = 4 x 2 x 2 = 3 x 2

A C = ± 3 x 2 = [ x 3 не подходит x 3 подходит

A C = x 3

S A B C = A C C B 2

x x 3 2 = 722 3

x 2 2 = 722

x 2 = 1444

x = ± 1444 = [ 38 не подходит 38 подходит

x = 38

Ответ: 38

 

№13. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольнике A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24 .

Решение:

Вспоминаем соотношение отрезков в прямоугольном треугольнике:

x = A H A C

x = 6 24 = 144 = 12

Ответ: 12

 

№14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение:

S A B C = A C B C 2

Для того, чтобы найти площадь, надо найти неизвестный катет. Найдем его через теорему Пифагора:

x 2 + 12 2 = 13 2

x 2 = 169 144 = 25

x = ± 25 = [ 5 не подходит 5 подходит

S A B C = A C B C 2 = 5 12 2 = 30

Ответ: 30

 

№15. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45 ° . Найдите площадь треугольника.

Решение:

Найдем третий угол треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 ° .

B = 90 ° 45 ° = 45 °

В A B C два угла равны, значит он равнобедренный.

B C = C A = 10

S A B C = B C C A 2 = 10 10 2 = 100 2 = 50

Ответ: 50

 

№16. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

В данном прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4.

Гипотенуза по теореме Пифагора будет равна:

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5

Медиана равна половине гипотенузы:

5 2 = 2,5

Ответ: 2,5

 

№17. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника A B C . Найди площадь A B C , если площадь D B E равна 7.

Решение:

D E – средняя линия.

Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.

S D B E = 1 4 S A B C

S A B C = 4 S D B E = 4 7 = 28

Ответ: 28

 

№18. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника A B C . Найди площадь D B E , если площадь A B C равна 100.

Решение:

D E – средняя линия.

Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.

S D B E = 1 4 S A B C = 100 4 = 25

Ответ: 25