Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

 

Содержание страницы:

 

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые  ( A B C D )  и невыпуклые  ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклый четырехугольник Невыпуклый четырехугольник

 

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон:  A B  и  A D ,   A B  и  B C ,   B C  и  C D ,   C D  и  A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон:  A B  и  C D ,   B C  и  A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин:  A  и  C ,   B  и  D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.  A C  и  B D  — диагонали четырехугольника  A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Выпуклый четырехугольник

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 sin φ

где  d 1  и  d 2  — диагонали четырехугольника,  φ  — угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

 

Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Параллелограмм: свойства
  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна  180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту
S = a h a = b h b

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними
S = a b sin α

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Параллелограмм: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними
S = 1 2 d 1 d 2 sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

 

Ромб

Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Ромб: свойства
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Ромб: площадь ромба равна произведению основания на высоту
S = a h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Ромб: площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними
S = a 2 sin α

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Ромб: площадь ромба равна полупроизведению диагоналей
S = 1 2 d 1 d 2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

 

Прямоугольник

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны  90 ° .

Свойства прямоугольника:

Прямоугольник: свойства
  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Прямоугольник: площадь прямоугольника равна произведению сторон
S = a b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Прямоугольник: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между дими
S = 1 2 d 2 sin φ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

 

Квадрат

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Квадрат: свойства
  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Квадрат: площадь квадрата равна квадрату стороны
S = a 2

Как квадрат стороны.

Квадрат: площадь квадрата равна половине квадрата диагонали

S = d 2 2

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

 

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Трапеция

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

B C  и  A D  — основания,  A B  и  C D  — боковые стороны трапеции  A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180 ° .

A + B = 180 °

C + D = 180 °

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Трапеция: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
S = a + b 2 h = m h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Трапеция: площадь трапеции равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними
S = 1 2 d 1 d 2 sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Прямоугольная трапеция

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

 

Скачать домашнее задание к уроку 4.