Геометрия. Урок 4. Задания. Часть 1.

№1. В параллелограмме A B C D диагональ A C в 2 раза больше стороны A B и A C D = 104 ° . Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Решение:

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, а диагональ A C в 2 раза больше A B , получаем равенства:

A O = O C = 1 2 A C = A B = C D

O C D равнобедренный, так как O C = C D C O D = C D O = x

x + x + 104 ° = 180 °

2 x = 76 °

x = 38 °

Ответ: 38

 

№2. Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7, C K = 12.

Решение:

B K A = K A D , так как они накрест лежащие при параллельных прямых.

K A D = K A B по условию A B K — равнобедренный

A B = B K = 7 = C D

A D = B C = 12 + 7 = 19

P = 7 + 7 + 19 + 19 = 52

Ответ: 52

 

№3. Найдите величину острого угла параллелограмма A B C D , если биссектриса угла A образует со стороной B C угол, равный 15 ° .

Решение:

Так как биссектриса делит угол пополам

B A D = 15 ° + 15 ° = 30 ° = B C D

A B C = A D C = 180 ° 30 ° = 150 °

Острый угол будет равен 30 °

Ответ: 30

 

№4. Диагональ B D параллелограмма A B C D образует с его сторонами углы, равные 65 ° и 50 ° . Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

A B C = A D C = 65 ° + 50 ° = 115 °

A = C = 180 ° 115 ° = 65 °

Меньший угол будет равен 65 °

Ответ: 65

 

№5. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40 ° . Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Пусть один из углов параллелограмма будет α , тогда смженый с ним будет равен 180 ° α .

Составим уравнение:

180 ° α α = 40 °

2 α = 40 ° 180 °

2 α = 140 °

α = 140 ° 2 = 70 °

A = 70 ° , B = 180 ° 70 ° = 110 °

Меньший угол будет равен 70 °

Ответ: 70

 

№6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение:

Длина средней линии вычисляется по формуле

m = a + b 2

где a и b — основания.

Большее основание равно 10, меньшее равно 6.

m = 10 + 6 2 = 8

Ответ: 8

 

№7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение:

S = a h

a = 7

h = 2

S = 7 2 = 14

Ответ: 14

 

№8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение:

Данная фигура состоит из 16 квадратов, площадь каждого равна 1. Значит площадь всей фигуры будет равна 16.

Ответ: 16

 

№9. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Проведем отрезок, разделяющий данную фигуру на трапецию и прямоугольный треугольник.

S трапеции = 2 + 3 2 2 = 5

S = 1 2 2 3 = 3

S = S + S трапеции = 3 + 5 = 8

Ответ: 8

 

№10. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

S = a h

a = 10, h = 4

S = 10 4 = 40

Ответ: 40

 

№11. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть B D = 6 , тогда B O = 3 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B O :

Пусть A O = x .

x 2 + 3 2 = 5 2

x = 25 9 = 16

x = ± 16 = [ 4 подходит 4 не подходит

A C = 2 x = 2 4 = 8

S = 1 2 d 1 d 2 = 1 2 6 8 = 24

Ответ: 24