Геометрия. Урок 4. Задания. Часть 2.

№12. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30 ° . Найдите площадь ромба.

Решение:

S = a 2 sin A

Поскольку все четыре стороны ромба равны, найти сторону можно следующим образом:

a = P 4 = 40 4 = 10

S = 10 2 sin 30 ° = 100 1 2 = 50

Ответ: 50

 

№13. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а косинус одного из углов равен 2 2 3 . Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Для того, чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти синус угла между сторонами. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1

sin α = 1 cos 2 α

Подставим в последнюю формулу вместо косинуса угла A его значение.

sin α = 1 ( 2 2 3 ) 2 = 1 8 9 = 1 9 = 1 3

S = 5 12 1 3 = 20

Ответ: 20

 

№14. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен 2 4 . Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Для того, чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти синус угла между сторонами. Вспомним определение тангенса и основное тригонометрическое тождество.

tg α = sin α cos α = 2 4

Пусть sin α = 2 x , cos α = 4 x .

Подставим в основное тригонометрическое тождество данные величины:

sin 2 α + cos 2 α = 1

( 2 x ) 2 + ( 4 x ) 2 = 1

2 x 2 + 16 x 2 = 1

18 x 2 = 1

x 2 = 1 18

x = ± 1 18 = [ 1 3 2 1 3 2

sin α = 2 x = 2 1 3 2 = 1 3

S = 5 12 1 3 = 20

Ответ: 20

 

№15. Площадь параллелограмма A B C D равна 56. Точка E — середина стороны C D . Найдите площадь трапеции A E C B .

Решение:

Проведем из точки E отрезок E F , параллельный сторонам A D и C B параллелограмма A B C D . Отрезок E F разделит параллелограмм A B C D на два равных параллелограмма. Площадь каждого из них будет равна половине площади исходного.

S F E C B = S A D E F = 56 2 = 28

В параллелограмме A D E F диагональ A E делит его на два равных треугольника. Площадь каждого треугольника будет равна половине площади параллелограмма A D E F .

S A E F = 28 2 = 14

S A E C B = S A E F + S F E C B

S A E C B = 14 + 28 = 42

Ответ: 42

 

№16. Высота B H ромба A B C D делит его сторону A D на отрезки A H = 21 и H D = 14 . Найдите площадь ромба.

Решение:

У ромба все стороны равны,

A B = A D = 21 + 14 = 35

Рассмотрим A B H — он прямоугольный.

Обозначим высоту B H за x .

Применим теорему Пифагора:

x 2 + 21 2 = 35 2

x 2 = 1225 441

x 2 = 784

x = ± 784 = [ 28 подходит 28 не подходит

S = a h = 35 28 = 980

Ответ: 980

 

№17. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4 2 , а угол между ней и одним из оснований равен 135 ° . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Для того, чтобы найти площадь трапеции, надо найти длину высоты.

Проведем высоту B H и обозначим ее за x .

Рассмотрим A B H , он прямоугольный.

A B H = 135 ° 90 ° = 45 °

B A H = 90 ° A B H = 90 ° 45 ° = 45 °

A B H также равнобедренный, так как у него два угла по 45 ° .

A H = H B = x .

Применим теорему Пифагора:

x 2 + x 2 = ( 4 2 ) 2

2 x 2 = 4 2 2

x 2 = 16

x = ± 16 = [ 4 не подходит 4 подходит

x = 4

S = 12 + 18 2 4 = 60

Ответ: 60

 

№18. Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

Обозначим большее основание трапеции за x .

Средняя линия находится по формуле:

m = a + b 2

Подставим в эту формулу величины:

5 + x 2 = 11 | 2

5 + x = 22

x = 22 5

x = 17

Ответ: 17

 

№19. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а её боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем высоты B E и C F .

Четырехугольник E B C F – прямоугольник, значит B C = E F = 5

A B E = D C F A E = F D = 17 5 2 = 6

Пусть высота трапеции равна x .

Рассмотрим A B E , он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

6 2 + x 2 = 10 2

x 2 = 100 36 x 2 = 64

x = ± 64 = [ 8 не подходит 8 подходит

x = 8

S = 5 + 17 2 8 = 88

Ответ: 88

 

№20. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C , делит основание A D на отрезки длиной 2 и 9. Найдите длину основания B C .

Решение:

Проведем вторую высоту из вершины B .

Четырехугольник F B C H – прямоугольник.

A B F = D C H A F = H D = 2

F H = 9 2 = 7

B C = F H = 7

Ответ: 7

 

№21. В трапеции A B C D известно, что A D = 6, B C = 2, а её площадь равна 32. Найдите площадь трапеции B C N M , где M N – средняя линия трапеции A B C D .

Решение:

Проведем высоту C H .

A D + B C 2 C H = S A B C D

2 + 6 2 C H = 32

4 C H = 32

C H = 8

Средняя линия делит высоту C H пополам.

C O = C H 2 = 8 2 = 4

Найдем длину средней линии трапеции:

M N = 2 + 6 2 = 4

S M B C N = 4 + 2 2 4 = 12

Ответ: 12

 

№22. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

Решение:

Пусть одна из сторон x , тогда другая будет x + 2.

Периметр – сумма длин всех сторон n -угольника.

P A B C D = x + 2 + x + x + 2 + x = 4 x + 4 = 44

4 x = 40

x = 10

S A B C D = A B B C = x ( x + 2 ) = 10 12 = 120

Ответ: 120