Геометрия. Урок 4. Задания. Часть 3.

№23. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно  4:11.

Решение:

Обозначим одну из сторон за 4 x другую за 11 x .

P A B C D = 4 x + 11 x + 4 x + 11 x = 60

30 x = 60

x = 2

S A B C D = A B B C = 8 22 = 176

Ответ: 176

 

№24. На стороне B C прямоугольника A B C D , у которого A B = 12 и A D = 17 , отмечена точка E так, что E A B = 45 ° . Найдите E D .

Решение:

A E B = 90 ° 45 ° = 45 °

A B E равнобедренный, так как два угла равны.

A B = B E = 12

E C = B C B E

E C = 17 12 = 5

E C D прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

E D 2 = E C 2 + C D 2

E D 2 = 5 2 + 12 2

E D 2 = 25 + 144

E D 2 = 169

E D = ± 169 = [ 13 не подходит 13 подходит

E D = 13

Ответ: 13

 

№25. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

S = 6 2 = 36

S прямоуг = 4 2 = 8

S фигуры = S S прямоуг = 36 8 = 28

Ответ: 28

 

№26. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Пусть стороны квадрата равны x.

Тогда по теореме Пифагора:

x 2 + x 2 = 1 2

2 x 2 = 1

x 2 = 0,5

S = x 2 = 0,5

Ответ: 0,5

 

№27. Найдите угол A D C равнобедренной трапеции A B C D , если диагональ A C образует с основанием B C и боковой стороной A B углы, равные 30 ° . и 50 ° . соответственно.

Решение:

B C A = C A D = 30 ° , так как они накрест лежащие при параллельных прямых.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании у нее равны.

A D C = D A B = 30 ° + 50 ° = 80 °

Ответ: 80

 

№28. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140 ° . Найдите больший угол трапеции.

Решение:

Сперва надо разобраться, о сумме каких двух углов идет речь. Если углы прилегают к одной боковой стороне, то их сумма равна 180 ° . В задаче же сумма двух углов равна 140 ° . Значит это сумма углов, прилежащих к одному основанию. А в равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть A = D = α .

Тогда:

2 α = 140 °

α = 140 ° 2 = 70 °

B = C = 180 ° α = 180 ° 70 ° = 110 °

Больший угол трапеции равен 110 °

Ответ: 110

 

№29. Основания трапеции равны 4 и 10. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.

Решение:

Рассмотрим A C D .

Отрезок L N — больший отрезок средней линии трапеции – является в этом треугольнике средней линией.

Средняя линия треугольника равна половине основания, параллельно которому она проведена.

L N = A D 2 = 10 2 = 5

Ответ: 5

 

№30. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Решение:

Рассмотрим A B E :

A B E = 90 ° 45 ° = 45 °

Значит A B E равнобедренный,

B E = A E = 5

Аналогично в C D F :

C F = F D = 5

Четырехугольник B E F C — прямоугольник,

B C = E F = 6

A D = 5 + 6 + 5 = 16

Ответ: 16

 

№31. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F. Найдите A B , если A F = 24, B F = 32 .

Решение:

Биссектриса каждого угла делит его пополам. Обозначим

B A F = D A F = α

C B F = A B F = β

2 α + 2 β = 180 °

2 ( α + β ) = 180 ° | ÷ 2

α + β = 90 °

Рассмотрим B F A :

B F A = 180 ° ( α + β )

B F A = 180 ° 90 ° = 90 °

Значит B F A — прямоугольный.

Применим в нем теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу A B :

A B 2 = B F 2 + F A 2

A B 2 = 32 2 + 24 2

A B 2 = 1024 + 576

A B 2 = 1600

A B = ± 1600 = [ 40 не подходит 40 подходит

A B = 40

Ответ: 40

 

№32. Высота B H ромба A B C D делит его сторону A D на отрезки A H = 44 и H D = 11. Найдите площадь ромба.

Решение:

У ромба все стороны равны.

A B = A D = 44 + 11 = 55

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B H :

B H – неизвестный катет. Обозначим его за x.

Применим теорему Пифагора:

44 2 + x 2 = 55 2

x 2 = 55 2 44 2

x 2 = 3025 1936

x 2 = 1089

x = ± 1089 = [ 33 не подходит 33 не подходит

x = 33

S = 33 55 = 1815

Ответ: 1815