Геометрия. Урок 5. Окружность

 

Содержание страницы:

 

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

Окружность

 

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

Окружность: радиус, диаметр, хорда

O A — радиус, D E — хорда, B C — диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Окружность: радиус, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Окружность: касательная к окружности

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

 

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Окружность: дуга окружности

Например, хорда A B стягивает две дуги: A M B и A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Окружность: равные хорды стягивают равные дуги

Если A B = C D , то A B = C D

 

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

A O B — центральный.

Окружность: центральный угол

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. A B = A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

A C B — вписанный.

Окружность: вписанный угол

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. A C B = A B 2 = α 2 A B = 2 A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Окружность: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны

M A N = M B N = M C N = M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

Окружность: вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов

M N — диаметр.

M A N = M B N = M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

 

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги — это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Окружность: длина дуги окружности радиуса R

Градусная мера дуги A B равна градусной мере дуги C D и равна α .

A B = C D = α

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

l = 2 π R

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 α

 

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг — часть пространства, которая находится внутри окружности.

Круг радиуса R

Иными словами, окружность — это граница, а круг — это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор окружности радиуса R

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° α

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Сегмент окружности радиуса R

Примеры сектора в реальной жизни: мармелад «лимонная долька», лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 180 ° α 1 2 R 2 sin α

 

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

Окружность, описанная около треугольника, теорема синусов

a sin A = b sin B = c sin C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.