№12. Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол
Решение:
Оба вписанных угла и опираются на одну дугу
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Рассмотрим
Ответ: 21
№13. Окружность с центром в точке описана около равнобедренного треугольника в котором и Найдите величину угла
Решение:
– вписанный, опирается на дугу
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Дуги и равны, так как их стягивают равные хорды.
– центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Ответ: 3
№14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна Угол при вершине, противолежащий основанию, равен Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов в треугольнике равна
Применим расширенную теорему синусов для стороны и угла
Поскольку диаметр окружности равен двум радиусам,
Ответ: 28
№15. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла
Решение:
Равные хорды стягивают равные дуги. Правильный восьмиугольник разбивает окружность на восемь равных дуг. Градусная мера одной дуги равна
– вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Ответ: 90
№16. Точки и лежат на одной окружности так, что хорды и взаимно перпендикулярны, а Найдите величину угла
Решение:
так как они опираются на одну и ту же дугу
Рассмотрим треугольник он прямоугольный, поэтому:
Ответ: 65
№17. На окружности по разные стороны от диаметра взяты точки и Известно, что Найдите угол
Решение:
так как они опираются на одну и ту же дугу.
найдем из треугольника
Так как по условию задачи – диаметр, то есть прямоугольный.
Ответ: 52
№18. Треугольник вписан в окружность с центром в точке Найдите градусную меру угла треугольника если
Решение:
– центральный.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Значит
– вписанный, опирается на дугу
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Ответ: 57,5
№19. На окружности с центром отмечены точки и так, что Длина меньшей дуги равна Найдите длину большей дуги.
Решение:
1 способ:
Обозначим большую дугу за
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол равна:
Центральный угол, который опирается на большую дугу равен
Найдем длину дуги по формуле:
2 способ:
На большую дугу опирается угол в он в два раза больше, чем угол, который опирается на меньшую дугу. Значит длина большей дуги будет в два раза больше, чем длина меньшей дуги.
Ответ: 134
№20. и – диаметры окружности с центром Найдите угол
Решение:
так как они вертикальные.
Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, так как они являются радиусами окружности.
Раз равнобедренный, справедливо равенство:
Ответ: 24
№21. Центр окружности, описанной около треугольника лежит на стороне Найдите угол если
Решение:
Центр окружности лежит на стороне значит – диаметр окружности, тогда так как является вписанным углом, опирающимся на дугу в
Ответ: 66
№22. В угол вписана окружность, которая касается сторон угла в точках и точка – центр окружности. Найдите угол
Решение:
и – радиусы окружности, которые проведены к точкам касания и соответственно.
Радиус, проведенный к точке касания, образует с касательной прямой угол.
Рассмотрим четырехугольник
Сумма углов в четырехугольнике равна
Ответ: 109