Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 2.

№12. Четырехугольник A B C D вписан в окружность. Угол A B C равен 70 ° , угол C A D равен 49 ° . Найдите угол A B D .

Решение:

Оба вписанных угла D A C и D B C опираются на одну дугу D C .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

D A C = D B C = 49 °

Рассмотрим A B C :

A B D + D B C = A B C

A B D + 49 ° = 70 °

A B D = 70 ° 49 °

A B D = 21 °

Ответ: 21

 

№13. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника A B C , в котором A B = B C и A B C = 177 ° . Найдите величину угла B O C .

Решение:

A B C — вписанный, опирается на дугу A C .

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

A C = 2 A B C = 2 177 ° = 354 °

A B C = 360 ° 354 ° = 6 °

Дуги A B и B C равны, так как их стягивают равные хорды.

A B = B C = A B C 2 = 6 ° 2 = 3 °

B O C — центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

B O C = B C = 3 °

Ответ: 3

 

№14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 ° . Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

A = C = α

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .

α + α + 120 ° = 180 °

2 α = 180 ° 120 °

2 α = 60 °

α = 30 °

Применим расширенную теорему синусов для стороны B C и угла B A C :

B C sin B A C = 2 R

14 0,5 = 2 R

2 R = 28

Поскольку диаметр окружности равен двум радиусам,

D = 2 R = 28

Ответ: 28

 

№15. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла A B C .

Решение:

Равные хорды стягивают равные дуги. Правильный восьмиугольник разбивает окружность на восемь равных дуг. Градусная мера одной дуги равна

360 ° 8 = 45 °

A B C — вписанный, он равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

A B C = 45 ° + 45 ° + 45 ° + 45 ° 2 = 90 °

Ответ: 90

 

№16. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды A B и C D взаимно перпендикулярны, а B D C = 25 ° . Найдите величину угла A B D .

Решение:

B A O = B D C = 25 ° , так как они опираются на одну и ту же дугу d.

Рассмотрим треугольник A B O , он прямоугольный, поэтому:

A B O + 25 ° + 90 ° = 180 °

A B O = 180 ° 90 ° 25 ° = 65 °

Ответ: 65

 

№17. На окружности по разные стороны от диаметра A B взяты точки M и N. Известно, что N B A = 38 ° . Найдите угол N M B .

Решение:

N M B = N A B , так как они опираются на одну и ту же дугу.

N A B найдем из треугольника A N B .

Так как по условию задачи A B — диаметр, A N B = 90 ° , то есть A N B прямоугольный.

N A B + 38 ° + 90 ° = 180 °

N A B = 180 ° 90 ° 38 °

N A B = 52 ° = N M B

Ответ: 52

 

№18. Треугольник A B C вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника A B C , если A O B = 115 ° .

Решение:

A O B — центральный.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Значит A B = 115 ° .

A C B — вписанный, опирается на дугу A B

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

A C B = A B 2 = 115 ° 2 = 57,5 °

Ответ: 57,5

 

№19. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что A O B = 120 ° . Длина меньшей дуги A B равна 67. Найдите длину большей дуги.

Решение:

1 способ:

Обозначим большую дугу за l.

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 α

A B = π R 180 ° 3 120 ° 2 = 67

2 π R 3 = 67 π R = 3 67 2

Центральный угол, который опирается на большую дугу l равен 360 ° 120 ° = 240 ° .

Найдем длину дуги l по формуле:

l = π R 180 ° 240 ° = 3 67 2 240 ° 4 180 ° 3 = 3 67 2 4 2 3 = 67 2 = 134

2 способ:

На большую дугу опирается угол в 240 ° , он в два раза больше, чем угол, который опирается на меньшую дугу. Значит длина большей дуги будет в два раза больше, чем длина меньшей дуги.

l = 2 67 = 134

Ответ: 134

 

№20. A C и B D – диаметры окружности с центром O. A C B = 78 ° . Найдите угол A O D .

Решение:

A O D = B O C , так как они вертикальные.

Рассмотрим треугольник B O C . Он равнобедренный, O B = O C , так как они являются радиусами окружности.

Раз B O C равнобедренный, справедливо равенство: C B O = B C O = 78 ° .

B O C + 78 ° + 78 ° = 180 °

B O C = 180 ° 78 ° 78 °

B O C = 24 °

Ответ: 24

 

№21. Центр окружности, описанной около треугольника A B C , лежит на стороне A B . Найдите угол A B C , если B A C = 24 ° .

Решение:

Центр окружности лежит на стороне A B , значит A B — диаметр окружности, тогда A C B = 90 ° , так как является вписанным углом, опирающимся на дугу в 180 ° .

A B C + 24 ° + 90 ° = 180 °

A B C = 180 ° 90 ° 24 °

A B C = 66 °

Ответ: 66

 

№22. В угол C = 71 ° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол A O B .

Решение:

O A и O B — радиусы окружности, которые проведены к точкам касания A и B соответственно.

Радиус, проведенный к точке касания, образует с касательной прямой угол.

Рассмотрим четырехугольник A B C D .

Сумма углов в четырехугольнике равна 360 ° .

A O B + 71 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

A O B = 360 ° 90 ° 90 ° 71 °

A O B = 109 °

Ответ: 109