Геометрия. Урок 6. Анализ геометрических высказываний

 

Содержание страницы:

 

Для того, чтобы найти нужное утверждение, воспользуйтесь поиском по сайту (вверху страницы) или сочетанием клавиш Ctrl+F.

Задание 13 из ОГЭ. Анализ геометрических высказываний

В данном уроке мы вспомним различные определения, теоремы и свойства из курса геометрии. Очень многие девятиклассники допускают ошибки именно в 13 задании ОГЭ «Анализ геометрических высказываний». Здесь мы рассмотрим различные утверждения, которые встречаются в ОГЭ и разберём, какие из них являются верными, а какие нет и почему.

Для удобства, утверждения расклассифицированы по темам: Аксиомы, Углы, Треугольники, Четырехугольники, Окружности, Симметрия.

Объем утверждений достаточно большой, но есть хорошая новость: если с первого раза вы с утверждением согласны, если для вас оно очевидно, то зубрить его не надо. Стоит серьёзно отнестись к утверждениям, которые с первого раза очевидными не кажутся. Но и их зазубривать тоже не нужно, их надо осмыслить, понять. Сделайте картинку к такому утверждению, подумайте, почему оно верно (или неверно).

Зубрёжка — бесполезное занятие. Любое утверждение можно сформулировать по-разному, поэтому самое главное — это понимание. В любой непонятной ситуации делайте рисунок и размышляйте. Удачи!

Верные утверждения

Аксиомы

  • Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
  • Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
  • Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
  • Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
  • Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
  • Через любую точку проходит более одной прямой.
  • Через любую точку проходит не менее одной прямой.
  • Через любые две точки можно провести прямую.
  • Через любые три точки проходит не более одной прямой.
  • Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Углы

  • Вертикальные углы равны.
  • Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
  • Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
  • Сумма смежных углов равна 180°.
  • Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

Треугольники

  • Сумма углов любого треугольника равна 180° .
  • Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
  • Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
  • Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
  • Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
  • Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
  • Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
  • Напротив равных углов лежат равные стороны.
  • Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
  • Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  • Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
  • Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
  • Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
  • Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
  • Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
  • Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
  • Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
  • Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
  • Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
  • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
  • Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Четырехугольники

  • Сумма углов четырехугольника равна 360°.
  • Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
  • Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
  • В параллелограмме противолежащие углы равны.
  • В параллелограмме противолежащие стороны равны.
  • В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
  • Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
  • Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
  • Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
  • Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
  • Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
  • Диагонали ромба перпендикулярны.
  • Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали квадрата делят его углы пополам.
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  • Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
  • Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
  • Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
  • Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
  • Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
  • Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
  • Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
  • Трапеция — четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
  • Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
  • Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

Окружности

  • В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
  • Все диаметры окружности равны между собой.
  • Все радиусы окружности равны между собой.
  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
  • Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
  • В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
  • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
  • Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
  • Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
  • Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
  • Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
  • В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
  • Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
  • Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
  • Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
  • Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
  • Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
  • Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
  • Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
  • Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
  • Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
  • Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
  • Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
  • Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
  • Через любые три точки проходит не более одной окружности.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
  • Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.

Симметрия

  • Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
  • Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
  • Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
  • Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
  • Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

 

Неверные утверждения

  • Существует квадрат, который не является прямоугольником.
    (Любой квадрат является частным случаем прямоугольника, потому что прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы по 90°).
  • В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
    (В любом прямоугольнике диагонали равны. Если они при этом еще и перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат).
  • Существует квадрат, который не является ромбом.
    (Любой квадрат – частный случай ромба, ромб – четырехугольник, у которого все стороны равны. У квадрата все стороны равны).
  • Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
    (Если угол острый, то смежный с ним угол будет тупым).
  • Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
    (Не всегда можно провести через три точки одну прямую, они могут «не попасть» на эту прямую).
  • Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1
    (Расстояние от точки до прямой — минимальная длина отрезка, который соединяет заданную точку с произвольной точкой на прямой. Если расстояние меньше единицы, то любой другой отрезок, соединяющий зааднную точку с произвольной точкой на прямой будет больше или равен единицы).
  • Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
    (Только параллельные прямые не имеют общих точек. Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку).
  • Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
    (Эти три прямые могут быть параллельны друг другу и не иметь общих точек вообще).
  • Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
    (Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны. Сумма этих углов не поможет определить, являеются ли прямые параллельными или нет).
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
    (Вписанные углы должны опираться на одну и ту же дугу, чтобы они были равны. Хорда стягивает две дуги. При такой формулировке один из углов может опираться на хорду с одной стороны (опираться на меньшую дугу), а второй угол – с другой стороны (опираться на большую дугу). Тогда равенство этих углов не будет выполняться).
  • Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
    (Из рисунка видно, что это не так).
  • Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.
    (Из рисунка видно, что это не так).
  • Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
    (Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°).
  • Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
    (Противолежащие углы в параллелограмме равны. Так что противолежащий угол должен быть равен тоже 60°).
  • Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
    (Признак параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм).
  • Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.
    (Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°).
  • Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
    (Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис).
  • Около любого ромба можно описать окружность.
    (Только если этот ромб – квадрат).
  • Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.
    (Окружность имеет лишь один центр симметрии – центр окружности).
  • Прямая не имеет осей симметрии.
    (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии – любая перпендикулярная ей прямая будет являться осью её симметрии).
  • Квадрат не имеет центра симметрии.
    (Центр симметрии квадрата – точка пересечения его диагоналей).
  • Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
    (Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии – высоту, проведенную к основанию).
  • Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.
    (У равнобедренной трапеции нет центра симметрии).
  • Любые два равнобедренных треугольника подобны.
    (У подобных треугольников должны быть равны углы. Если взять два произвольных равнобедренных треугольника, то три угла одного из них не обязательно будут соответственно равны трем углам другого).
  • Любые два прямоугольных треугольника подобны.
    (У подобных треугольников должны быть равны углы. Если взять два произвольных прямоугольных треугольника, то не обязательно два острых угла одного треугольника будут соответственно равны двум острым углам другого).
  • Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.
    (Данный треугольник прямоугольный, так как в нем работает теорема Пифагора:
    9 + 16 = 25).
  • Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
    (Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.)
  • Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
    (Если бы в формулировке вместо синуса стоял косинус, было бы верным данное утверждение).
  • Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.
    (Не обязательно. Для примера возьмем квадрат со стороной 2 и прямоугольный треугольник со сторонами 1 и 4. Тогда площади этих фигур будут равны, но сами фигуры, разумеется, равными друг другу не будут. Еще пример: возьмем прямоугольник со сторонами 2 и 6 и другой прямоугольник со сторонами 1 и 12. Их площади тоже будут равны, но сами фигуры равными друг другу не будут).
  • Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
    (Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту).
  • Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.
    (Площадь должна равняться 5).
  • Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.
    (Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности).
  • Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
    (Не выполняется неравенство треугольника: одна из сторон должна быть меньше, чем сумма двух других. 4 > 1+2 – неверно).
  • Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
    (Если треугольник тупоугольный, то центр описанной вокруг него окружности лежит за его пределами).
  • Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.
    (Площадь трапеции равно половине высоты, умноженной на сумму оснований).
  • В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
    (Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность).
  • Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
    (Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом).
  • Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
    (Только биссектриса, проведенная к основанию. Биссектриса, проведенная к боковой стороне не будет являться медианой).
  • У любой трапеции боковые стороны равны.
    (Только у равнобокой трапеции боковые стороны равны).
  • Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
    (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Для трапеции такое утверждение неверно).
  • Смежные углы равны.
    (Сумма смежных углов равна 180°. Если смежные углы равны, то каждый из них равен 90°, но это частный случай).
  • Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
    (Параллельные прямые не имеют общих точек).
  • Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.
    (Смежных с ним угол должен быть равен 180°-47°=133°).
  • Через любую точку проходит ровно одна прямая.
    (Через любую точку можно провести бесконечное множество прямых).
  • Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.
    (Сумма смежных углов равна 180°. Если один из смежных углов равен 120°, то второй должен быть равен 60°).
  • При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.
    (Накрест лежащие углы должны быть равны).
  • Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.
    (Центром окружности, описанной около треугольника является точка пересечения его серединных перпендикуляров).
  • Диагонали параллелограмма равны.
    (Диагонали прямоугольника и квадрата равны, а у параллелограмма они разной длины).
  • Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
    (Угол должен находиться между этими сторонами, в данной формулировке об этом ни слова).
  • В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
    (В тупоугольном треугольнике один из углов тупой. Все углы не могут быть тупыми, так как их сумма станет больше 180°).
  • Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    (Первый признак равенства треугольников: Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны стороне и угла между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).
  • Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
    (Равноудалена – находится на одном и расстоянии от обоих центров. Если окружности будут разного радиуса, то точка пересечения окружностей будет ближе к центру окружности меньшего радиуса).
  • Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
    (Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов).
  • Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
    (Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам).
  • Все радиусы равны между собой.
    (Все радиусы в одной окружности равны между собой. А радиусы в разных окружностях между собой не равны).
  • Все диаметры равны между собой.
    (Диаметры в одной окружности равные между собой. А диаметры в разных окружностях между собой не равны).
  • Сумма углов любого треугольника равна 360°.
    (Сумма углов в треугольнике равна 180°).
  • Сумма вертикальных углов равна 180°.
    (Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180°).
  • Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
    (Важно, чтобы были равны углы. Простой пример: квадрат со стороной 1 не равен ромбу со стороной 1, хотя стороны этих четырехугольников равны).
  • Все углы ромба равны.
    (Противолежащие углы ромба равны).
  • Все углы параллелограмма равны.
    (Противолежащие углы параллелограмма равны).
  • Все хорды одной окружности равны между собой.
    (Все диаметры одной окружности равны между собой. Хорда же соединяет две точки окружности).
  • Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
    (Возможен случай, когда оба смежных угла равны 90°).