Алгебра. Урок 4. Задания. Часть 2.

№8. Решите уравнение: 3 x 19 = 19 x 3 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

3 x 19 = 19 x 3

ОДЗ:

[ x 19 0 x 3 0 [ x 19 x 3

Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:

3 \ ( x 3 ) x 19 19 \ ( x 19 ) x 3 = 0

3 ( x 3 ) 19 ( x 19 ) ( x 19 ) ( x 3 ) = 0

В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:

3 x 9 19 x + 361 = 0

16 x + 352 = 0

16 x = 352

x = 352 16 = 352 16 = 22

Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

Ответ: 22

 

№9. Решите уравнение x 11 = x + 7 7 .

Решение:

x 11 = x + 7 7

Домножим левую и правую часть уравнение на 7 . Получим:

7 ( x 11 ) = x + 7

7 x 77 x 7 = 0

6 x 84 = 0

6 x = 84

x = 84 6 = 14

Ответ: 14

 

№10. Решите уравнение x 4 x 6 = 2.

Решение:

Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.

Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .

x 4 x 6 = 2 1

Выпишем ОДЗ:

x 6 0 x 6

Воспользуемся основным свойством пропорции:

произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):

a b = c d a d = b c

 

x 4 x 6 = 2 1 ( x 4 ) 1 = ( x 6 ) 2

x 4 = 2 x 12

x 2 x = 12 + 4

x = 8

x = 8 1 = 8

Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

Ответ: 8

 

№11. Решите систему уравнений { 4 x + y = 10 x + 3 y = 3

В ответе запишите сумму решений.

Решение:

1 способ: (метод подстановки)

{ 4 x + y = 10 x + 3 y = 3

{ y = 10 4 x x + 3 y = 3

{ y = 10 4 x x + 3 ( 10 4 x ) = 3

x + 3 ( 10 4 x ) = 3

x + 30 12 x = 3

11 x = 33

x = 33 11 = 3

Теперь осталось найти переменную y .

y = 10 4 x = 10 4 3 = 2

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( 2 ) = 1

Ответ: 1

 

2 способ: (метод сложения)

{ 4 x + y = 10 | ( 3 ) x + 3 y = 3

{ ( 3 ) ( 4 x + y ) = ( 3 ) 10 x + 3 y = 3

{ 12 x 3 y = 30 x + 3 y = 3

( 12 x 3 y + ( x + 3 y ) = ( 30 ) + ( 3 )

12 x 3 y + x + 3 y = 30 3

11 x = 33

x = 33 11 = 3

Теперь осталось найти переменную y .

4 x + y = 10

4 3 + y = 10

y = 10 12 = 2

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( 2 ) = 1

Ответ: 1

 

№12. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

Алгебра. Урок 4. Задания. Часть 2.

Решение:

Абсцисса – x , ордината – y . Если две прямые пересекаются, то для нахождения точки их пересечения надо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки.

{ 2 x y = 8 x + 2 y = 6

{ 2 x y = 8 x = 6 2 y

{ 2 ( 6 2 y ) y = 8 x = 6 2 y

12 4 y y = 8

5 y = 8 12 = 20

y = 20 5 = 20 5 = 4

x = 6 2 y = 6 2 4 = 6 8 = 2

Ответ: -2

 

№13. На рисунке изображены графики функций y = 3 x 2 и y = 2 x . Вычислите координаты точки B .

Алгебра. Урок 4. Задания. Часть 2.

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

Решение:

Для того, чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки:

{ y = 2 x y = 3 x 2

{ y = 2 x 2 x = 3 x 2

2 x = 3 x 2

x 2 2 x 3 = 0

a = 1, b = 2, c = 3

D = b 2 4 a c = ( 2 ) 2 4 1 ( 3 ) = 4 + 12 = 16

D > 0

x 1,2 = b ± D 2 a = ( 2 ) ± 16 2 1 = [ 2 + 4 2 = 6 2 = 3 2 4 2 = 2 2 = 1

Поскольку нас интересует точка B , которая лежит правее точки A , выбираем x = 3 .

Ищем координату y (ординату), соответствующую координате x = 3 (абсциссе).

x = 3

y = 2 x = 2 3 = 6

B ( 3 ; 6 )

Ответ: 3;-6