Алгебра. Урок 5. Задания. Часть 2.

№8. Установите соответствие между функциями и их графиками.

$y = \frac{1}{9 x}$

$y = \frac{9}{x}$

$y = - \frac{9}{x}$

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

A	Б	В

Решение:

$y = \frac{1}{9 x} \Rightarrow k = \frac{1}{9} > 0$ – график проходит через $I$ и $III$ координатные четверти.

Подходят $3$ и $4$ варианты ответа.

График под номером $3$ проходит через точку с координатами $(3; 3) .$ Подставим значения $x$ и $y$ в график функции $y = \frac{1}{9 x} \Rightarrow 3 = \frac{1}{9 \cdot 3}$ – неверное равенство. Значит ответ под номером $3$ не подходит.

Выбираем ответ под номером $4.$

$y = \frac{9}{x} \Rightarrow k = 9 > 0$ – график проходит через $I$ и $III$ координатные четверти. Подходят $3$ и $4$ варианты ответа.

Поскольку вариант ответ $4$ уже выбран, выбираем ответ под номером $3.$

$y = - \frac{9}{x} \Rightarrow k = - 9 < 0$ – график проходит через $II$ и $IV$ координатные четверти. Подходят $1$ и $2$ варианты ответа.

График под номером $2$ проходит через точку с координатами $(- 3; - 3) .$

Подставим значения $x$ и $y$ в график функции $y = - \frac{9}{x} \Rightarrow - 3 = \frac{9}{3}$ – верное равенство.

Выбираем ответ под номером $2.$

Ответ: 432

№9. На рисунке изображен график функции вида $y = a x^{2} + b x + c .$ Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Утверждения:

функция возрастает на промежутке

функция убывает на промежутке

Промежутки:

$[0; 3]$
$[- 1; 1]$
$[2; 4]$
$[1; 4]$

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

A	Б

Решение:

Функция возрастает на промежутке $x \in (- \infty; 2]$ (взбираемся в гору).

Функция убывает на промежутке $x \in [2; + \infty)$ (спускаемся с горы).

На промежутке $[0; 3]$ функция и возрастает, и убывает.
На промежутке $[- 1; 1]$ функция возрастает (А).
На промежутке $[2; 4]$ функция убывает (Б).
На промежутке $[1; 4]$ функция и возрастает, и убывает.

A	Б
$2$	$3$

Ответ: 23

№10. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номер.

$f (- 1) = f (3)$
Наибольшее значение функции равно $3$
$f (x) > 0$ при $- 1 < x < 3$

Решение:

$f (- 1) = f (3)$ – верное утверждение Посмотрим на график.

Опускаем проекции из точек $- 1$ и $3$ на ось $y .$ Они попали в одну и ту же точку на оси $y$ – в ноль. Значит $f (- 1) = f (3) .$

Наибольшее значение функции равно $3$ – неверное утверждение. Посмотрим на график.

$f (x) > 0$ при $- 1 < x < 3$ – верное утверждение. Посмотрим на график.

Все значения функции лежат выше оси $x .$

Ответ: 2

№11. На рисунке изображен график функции $y = f (x) .$ Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

функция возрастает на промежутке $[- 2; + \infty)$
$f (3) > f (- 3)$
$f (0) = - 1$
прямая $y = 1$ пересекает график в точках $(- 2; 1)$ и $(5; 1)$

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

функция возрастает на промежутке $[- 2; + \infty)$ – неверно, так как функция возрастает на промежутке $[1.5; + \infty) .$
$f (3) > f (- 3)$ – неверно, так как $f (3) < f (- 3),$ посмотрим на график.

$f (0) = - 1$ – верно, посмотрим на график.

прямая $y = 1$ пересекает график в точках $(- 2; 1)$ и $(5; 1)$ – верно, посмотрим на график.

Ответ: 1;2

№12. Найдите значение $a$ и $b$ по графику функции, изображенному на рисунке.

В ответ запишите сумму значений $a + b .$

Решение:

$c = 3$ так как график пересекает ось $y$ в точке $3.$

$x_{в} = \frac{- b}{2 a} = - 1 \Rightarrow b = 2 a$ – нашли связь между двумя переменными.

$y_{в} = 2 = a {(x_{в})}^{2} + b \cdot x_{в} + 3 .$ Подставим вместо $x_{в}$ значение $(- 1) .$

$2 = a {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + 3$

$2 = a - b + 3 \Rightarrow b - a = 1$

Получили систему уравнений:

${\begin{cases} b = 2 a \\ b - a = 1 \end{cases}$

${\begin{cases} b = 2 a \\ 2 a - a = 1 \end{cases}$

${\begin{cases} b = 2 a = 2 \cdot 1 = 2 \\ a = 1 \end{cases}$

$a + b = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3

№13. Найдите значение $k$ по графику функции, изображенному на рисунке.

Решение:

Графиком данной функции является гипербола.

Общий вид функции: $y = \frac{k}{x} .$ Для того, чтобы найти коэффициент $k,$ подставим координаты точки, через которую проходит гипербола, в функцию.

Возьмем точку $(- 1; 1) .$

$1 = \frac{k}{- 1} \Rightarrow k = 1 \cdot (- 1) = - 1$

Ответ: -1

№14. Найдите значение $a$ по графику функции, изображенному на рисунке.

Решение:

$c = - 4,$ так как график пересекает ось $y$ в точке $- 4 .$

График проходит через точки $(- 4; 2)$ и $(- 4; 2) .$

Подставим в эти точки в уравнение $y = a x^{2} + b x + c$ вместо $x$ и $y .$

Так как $c = - 4,$ получим систему:

${\begin{cases} 2 = a \cdot {(- 4)}^{2} + b \cdot (- 4) - 4 \\ 2 = a \cdot {(3)}^{2} + b \cdot (3) - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 = 16 a - 4 b - 4 \\ 2 = 9 a + 3 b - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} 16 a - 4 b = 6 | \div (2) \\ 9 a + 3 b = 6 | \div (3) \end{cases}$

${\begin{cases} 8 a - 2 b = 3 \\ 3 a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - 3 a \end{cases}$

$8 a - 2 (2 - 3 a) = 3$

$8 a - 4 + 6 a = 3$

$14 a = 7 \Rightarrow a = \frac{7}{14} = 0.5$

Ответ: 0.5