Геометрия. Урок 2. Задания. Часть 1.

№1. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол $α .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим угол, который отмечен такой же дугой, что и угол $α$ за $α .$ Отметим угол, который является вертикальным с углом $120 °,$ такой же дугой и пометим, что он равен $120 °,$ Теперь можем составить уравнение и решить его:

$α + 120 ° + α = 180 °$

$2 α + 120 ° = 180 °$

$2 α = 180 ° - 120 °$

$2 α = 60 °$

$α = \frac{60 °}{2} = 30 °$

Ответ: 30

№2. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол $α .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим углы, которые отмечены такой же дугой, что и угол $α$ за $α .$ Теперь можем составить уравнение и решить его:

$α + α + 105 ° + α = 180 °$

$3 α + 105 ° = 180 °$

$3 α = 180 ° - 105 °$

$3 α = 75 °$

$α = \frac{75 °}{3} = 25 °$

Ответ: 25

№3. Прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $∠ 3,$ если $∠ 1 = 36 °,$ $∠ 2 = 81 ° .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим угол между $∠ 1$ и $∠ 3$ как $∠ 4 .$

$∠ 4 = ∠ 2 = 81 °,$ так как это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых. Теперь можем составить уравнение и решить его:

$∠ 1 + ∠ 4 + ∠ 3 = 180 °$

$36 ° + 81 ° + ∠ 3 = 180 °$

$∠ 3 + 117 ° = 180 °$

$∠ 3 = 180 ° - 117 °$

$∠ 3 = 63 °$

Ответ: 63

№4. В треугольнике два угла равны $33 °$ и $55 ° .$ Найти его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов треугольника равна $180 ° .$ Обозначим третий угол за $x .$ Теперь можем составить уравнение и решить его.

$x + 33 ° + 55 ° = 180 °$

$x + 88 ° = 180 °$

$x = 180 ° - 88 °$

$x = 92 °$

Ответ: 92

№5. Найдите величину угла $∠ D O K,$ если $O K$ – биссектриса угла $∠ A O D,$ $∠ D O B = 126 ° .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$O K$ – биссектриса угла $∠ A O D,$ значит она делит его на два равных угла $∠ D O K = ∠ A O K .$ Обозначим эти углы за $α .$ Теперь можем составить уравнение и решить его:

$α + α + 126 ° = 180 °$

$2 α = 180 ° - 126 °$

$2 α = 54 °$

$α = \frac{54 °}{2}$

$α = 27 °$

Ответ: 27

№6. Биссектрисы углов $N$ и $M$ треугольника $△ M N P$ пересекаются в точке $A .$ Найдите $∠ N A M,$ если $∠ N = 56 °,$ а $∠ M = 74 ° .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол $∠ N$ делится биссектрисой на два равных угла. $∠ M N A = \frac{∠ N}{2} = \frac{56 °}{2} = 28 °$

Угол $∠ M$ делится биссектрисой на два равных угла. $∠ N M A = \frac{∠ M}{2} = \frac{74 °}{2} = 37 °$

Рассмотрим $△ M N A .$ В нем известны два угла, осталось найти третий. Сумма углов в треугольнике равна $180 ° .$ Обозначим $∠ M A N = α .$ Составим уравнение и решим его:

$α + 37 ° + 28 ° = 180 °$

$α + 65 ° = 180 °$

$α = 180 ° - 65 °$

$α = 115 °$

Ответ: 115

№7. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна $289 ° .$ Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

$S_{n} = 180 ° \cdot (n - 2).$

При $n = 4$ получим:

$S_{4} = 180 ° \cdot (4 - 2) =$ $180 ° \cdot 2 = 360 ° .$

Сумма трех углов четырехугольника нам известна. Для того, чтобы найти четвертый угол нужно из суммы углов четырехугольника вычесть сумму известных трех углов. Пусть неизвестный угол равен $α .$

$α = 360 ° - 289 ° = 71 °$

Ответ: 71

№8. Углы выпуклого четырехугольника относятся как $6 : 4 : 3 : 5 .$ Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть четырехугольник называется $A B C D .$ Если углы заданы отношением $6 : 4 : 3 : 5,$ то мы можем их обозначить:

$∠ A = 6 x$

$∠ B = 4 x$

$∠ C = 3 x$

$∠ D = 5 x$

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360 ° .$

$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 °$

$6 x + 4 x + 3 x + 5 x = 360 °$

$18 x = 360 °$

$x = \frac{360 °}{18} = 20 °$

Наименьший угол четырехугольника – это $∠ C = 3 x .$

$∠ C = 3 \cdot 20 ° = 60 °$

Ответ: 60

№9. $A B C D E F$ – правильный шестиугольник. Найдите угол $∠ C D E .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Воспользуемся формулой нахождения угла правильного n-угольника:

$α_{n} = \frac{180 ° \cdot (n - 2)}{n}$

При $n = 6$ получим:

$α_{6} = \frac{180 ° \cdot (6 - 2)}{6} =$ $\frac{180 ° \cdot 4}{6} = 120 °$

Ответ: 120