Геометрия. Урок 4. Задания. Часть 1.

№1. В параллелограмме $A B C D$ диагональ $A C$ в 2 раза больше стороны $A B$ и $∠ A C D = 104 ° .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Решение:

Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, а диагональ $A C$ в 2 раза больше $A B,$ получаем равенства:

$A O = O C =$ $\frac{1}{2} A C = A B = C D$

$△ O C D$ равнобедренный, так как $O C = C D \Rightarrow$ $∠ C O D =$ $∠ C D O = x$

$x + x + 104 ° = 180 °$

$2 x = 76 °$

$x = 38 °$

Ответ: 38

№2. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A B C D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K .$ Найдите периметр параллелограмма, если $B K = 7, C K = 12.$

Решение:

$∠ B K A = ∠ K A D,$ так как они накрест лежащие при параллельных прямых.

$∠ K A D = ∠ K A B$ по условию $\Rightarrow △ A B K$ – равнобедренный

$A B = B K = 7 = C D$

$A D = B C =$ $12 + 7 = 19$

$P =$ $7 + 7 + 19 + 19 =$ $52$

Ответ: 52

№3. Найдите величину острого угла параллелограмма $A B C D,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $B C$ угол, равный $15 ° .$

Решение:

Так как биссектриса делит угол пополам

$∠ B A D = 15 ° + 15 ° =$ $30 ° = ∠ B C D$

$∠ A B C = ∠ A D C =$ $180 ° - 30 ° = 150 °$

Острый угол будет равен $30 °$

Ответ: 30

№4. Диагональ $B D$ параллелограмма $A B C D$ образует с его сторонами углы, равные $65 °$ и $50 ° .$ Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

$∠ A B C = ∠ A D C =$ $65 ° + 50 ° = 115 °$

$∠ A = ∠ C =$ $180 ° - 115 ° = 65 °$

Меньший угол будет равен $65 °$

Ответ: 65

№5. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $40 ° .$ Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Пусть один из углов параллелограмма будет $α,$ тогда смженый с ним будет равен $180 ° - α .$

Составим уравнение:

$180 ° - α - α = 40 °$

$- 2 α = 40 ° - 180 °$

$- 2 α = - 140 °$

$α = \frac{- 140 °}{- 2} = 70 °$

$∠ A = 70 °,$ $∠ B = 180 ° - 70 ° = 110 °$

Меньший угол будет равен $70 °$

Ответ: 70

№6. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 x 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение:

Длина средней линии вычисляется по формуле

$m = \frac{a + b}{2}$

где $a$ и $b$ – основания.

Большее основание равно $10,$ меньшее равно $6.$

$m = \frac{10 + 6}{2} = 8$

Ответ: 8

№7. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 x 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение:

$S = a \cdot h$

$a = 7$

$h = 2$

$S = 7 \cdot 2 = 14$

Ответ: 14

№8. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 x 1$ изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение:

Данная фигура состоит из $16$ квадратов, площадь каждого равна $1.$ Значит площадь всей фигуры будет равна $16.$

Ответ: 16

№9. Площадь одной клетки равна $1.$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Проведем отрезок, разделяющий данную фигуру на трапецию и прямоугольный треугольник.

$S_{трапеции} = \frac{2 + 3}{2} \cdot 2 = 5$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$

$S = S_{△} + S_{трапеции} =$ $3 + 5 = 8$

Ответ: 8

№10. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

$S = a \cdot h$

$a = 10, h = 4$

$S = 10 \cdot 4 = 40$

Ответ: 40

№11. Сторона ромба равна $5,$ а диагональ равна $6.$ Найдите площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $B D = 6,$ тогда $B O = 3 .$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B O :$

Пусть $A O = x .$

$x^{2} + 3^{2} = 5^{2}$

$x = 25 - 9 = 16$

$x = \pm \sqrt{16} =$ $[\begin{array}{l} 4 подходит \\ - 4 не подходит \end{array}$

$A C = 2 x = 2 \cdot 4 = 8$

$S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} =$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

Ответ: 24