Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 1.

№1. Последовательность задана формулой c n = n 2 1. Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Решение:

Найдем первые несколько членов данной последовательности.

n = 1 c 1 = 1 2 1 = 1 1 = 0

n = 2 c 2 = 2 2 1 = 4 1 = 3

n = 3 c 3 = 3 2 1 = 9 1 = 8

Число 3 является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером 3 .

Ответ: 3

 

№2. Последовательность задана формулой c n = n + ( 1 ) n n . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

  1. 2 1 2
  2. 4 1 4
  3. 5 1 5
  4. 6 1 6

Решение:

Найдем несколько первых членов данной последовательности.

n = 1 c 1 = 1 + ( 1 ) 1 1 = 1 + 1 1 = 1 1 = 0

n = 2 c 2 = 2 + ( 1 ) 2 2 = 2 + 1 2 = 2 1 2

n = 3 c 3 = 3 + ( 1 ) 3 3 = 3 + 1 3 = 3 1 3 = 2 2 3

n = 4 c 4 = 4 + ( 1 ) 4 4 = 4 + 1 4 = 4 1 4

n = 5 c 5 = 5 + ( 1 ) 5 5 = 5 + 1 5 = 5 1 5 = 4 4 5

n = 6 c 6 = 6 + ( 1 ) 6 6 = 6 + 1 6 = 6 1 6

Приходим к выводу, что число 5 1 5 не является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

 

№3. Последовательность задана формулой a n = 11 n + 1. Сколько членов в этой последовательности больше 1?

  1. 8
  2. 9
  3. 10
  4. 11

Решение:

Решим неравенство 11 n + 1 > 1 относительно n.

Для того, чтобы дробь была больше 1 , знаменатель должен быть меньше числителя. n + 1 < 11 n < 10.

Поскольку n — натуральное число, то все возможные значения, которые может принимать n для выполнения исходного неравенства это: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

  1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;
  2. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ;
  3. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;
  4. 1 ; 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ;

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a 3 = a 2 + d a n = a n 1 + d

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего на одно и то же число. Начнем проверку:

  1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;
    d = 2 1 = 1
    d = 3 2 = 1
    d = 5 3 = 2 — противоречие.
  2. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ;
    d = 2 1 = 1
    d = 4 2 = 2 — противоречие.
  3. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;
    d = 3 1 = 2
    d = 5 3 = 2
    d = 7 5 = 2

Условия соблюдены. Данная прогрессия является арифметической.

  1. 1 ; 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ;
    d = 1 2 1 = 1 2
    d = 2 \ 2 3 1 \ 3 2 6 = 2 2 1 3 6 = 4 3 6 = 1 6 — противоречие.

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

 

№5. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

  1. 10 ; 6 ; 2 ; 2 ;
  2. 5 ; 5 2 ; 5 4 ; 5 8 ;
  3. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;
  4. 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ;

Решение:

Для того, чтобы последовательность была геометрической, должны выполняться условия: b 2 = b 1 q b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b n = b n 1 q = b 1 q n 1

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего в q раз (q одно и то же для всех членов последовательности). Начнем проверку:

  1. 10 ; 6 ; 2 ; 2 ;
    q = 6 10 = 0,6
    q = 2 6 = 1 3 — противоречие.
  2. 5 ; 5 2 ; 5 4 ; 5 8 ;
    q = 5 2 ÷ 5 = 5 2 1 5 = 1 2
    q = 5 4 ÷ 5 2 = 5 4 2 5 = 1 2
    q = 5 8 ÷ 5 4 = 5 8 4 5 = 4 8 = 1 2

Условия соблюдены. Данная прогрессия является геометрической.

  1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;
    q = 2 1 = 2
    q = 3 2 = 1,5 — противоречие.
  2. 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ;
    q = 1 3 ÷ 1 2 = 1 3 2 1 = 2 3
    q = 1 4 ÷ 1 3 = 1 4 3 1 = 3 4 — противоречие.

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№6. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

  1. Последовательность натуральных степеней числа 2.
  2. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
  3. Последовательность кубов натуральных чисел.
  4. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a 3 = a 2 + d a n = a n 1 + d

  1. Последовательность натуральных степеней числа 2.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

5 ; 10 ; 15 ; 20 ;
d = 4 2 = 2
d = 8 4 = 4 — противоречие.

  1. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

5 ; 10 ; 15 ; 20 ;
d = 10 5 = 5
d = 15 10 = 5
d = 20 15 = 5

Условие соблюдено. Данная прогрессия является арифметической.

  1. Последовательность кубов натуральных чисел.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

1 ; 8 ; 27 ; 81 ;
d = 8 1 = 7
d = 27 8 = 19 — противоречие.

  1. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ;
d = 2 \ 2 3 1 \ 3 2 6 = 2 2 3 6 = 4 3 6 = 1 6
d = 3 \ 3 4 2 \ 4 3 12 = 3 3 2 4 12 = 9 8 12 = 1 12 — противоречие.

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2