Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0,$ где $x$ – переменная, $a,$ $b$ и $c$ – некоторые числа, причем $a \neq 0 .$

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: $\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}$
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: $a = \dots$ $b = \dots$ $c = \dots$
Вычислить дискриминант по формуле: $\begin{matrix} D = b^{2} - 4 a c \end{matrix}$
Если $D > 0,$ будет два различных корня, которые находятся по формуле: $\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} \end{matrix}$
Если $D = 0,$ будет один корень, который находится по формуле: $\begin{matrix} x = \frac{- b}{2 a} \end{matrix}$
Если $D < 0,$ решений нет: $x \in \emptyset$

Примеры решения квадратного уравнения:

$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$

$a = - 1, b = 6, c = 7$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7 =$ $36 + 28 = 64$

$D > 0$ – будет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{- 6 \pm 8}{- 2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{- 6 + 8}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1 \\ \frac{- 6 - 8}{- 2} = \frac{- 14}{- 2} = 7 \end{array}$

Ответ: $x_{1} = - 1, x_{2} = 7$

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0$

$a = - 1, b = 4, c = - 4$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) =$ $16 - 16 = 0$

$D = 0$ – будет один корень:

$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 4}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{- 4}{- 2} = 2$

Ответ: $x = 2$

$2 x^{2} - 7 x + 10 = 0$

$a = 2, b = - 7, c = 10$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10 =$ $49 - 80 = - 31$

$D < 0$ – решений нет.

Ответ: $x \in \emptyset$

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо $b = 0,$ либо $c = 0,$ либо $b = c = 0$ ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Добавить комментарий Отменить ответ