Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств – это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

${\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 x + 3 \leq x^{2} \end{cases}$

Алгоритм решения системы неравенств

Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси $x .$

Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси $x .$

Нанести решения первого и второго неравенств на ось $x .$

Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решения систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств ${\begin{cases} 2 x - 3 \leq 5 \\ 7 - 3 x \leq 1 \end{cases}$

Показать решение

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

$2 x - 3 \leq 5$

$2 x \leq 8 | \div 2,$ поскольку $2 > 0,$ знак неравенства после деления сохраняется.

$x \leq 4;$

Графическая интерпретация:

Точка $4$ на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

$7 - 3 x \leq 1$

$- 3 x \leq 1 - 7$

$- 3 x \leq - 6 | \div (- 3),$ поскольку $- 3 < 0,$ знак неравенства после деления меняется на противоположный.

$x \geq 2$

Графическая интерпретация решения:

Точка $2$ на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Наносим оба решения на ось $x .$

Решение системы неравенств 2x-3≤=5; 7-3x≤=1

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от $2$ до $4$ . Точки $2$ и $4$ в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ: $x \in [2; 4]$

№2. Решить систему неравенств ${\begin{cases} 2 x - 1 \leq 5 \\ 1 < - 3 x - 2 \end{cases}$

Показать решение

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

$2 x - 1 \leq 5$

$2 x \leq 6 | \div 2,$ поскольку $2 > 0,$ знак неравенства после деления сохраняется.

$x \leq 3$

Графическая интерпретация:

Точка $3$ на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

$1 < - 3 x - 2$

$3 x < - 1 - 2$

$3 x < - 3 | \div 3,$ поскольку $3 > 0,$ знак неравенства после деления сохраняется.

$x < - 1$

Графическая интерпретация решения:

Точка $-1$ на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

Наносим оба решения на ось $x .$

Решение системы неравенств 2x-1≤5; 1<-3x-2

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка $-1$ будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: $x \in (- \infty; - 1)$

№3. Решить систему неравенств ${\begin{cases} 3 x + 1 \leq 2 x \\ x - 7 > 5 - x \end{cases}$

Показать решение

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

$3 x + 1 \leq 2 x$

$3 x - 2 x \leq - 1$

$x \leq - 1$

Графическая интерпретация решения:

Решаем второе неравенство системы

$x - 7 > 5 - x$

$x + x > 5 + 7$

$2 x > 12 | \div 2,$ поскольку $2 > 0,$ знак неравенства после деления сохраняется.

$x > 6$

Графическая интерпретация решения:

Наносим оба решения на ось $x .$

Решение системы неравенств 3x+1≤2x-1; x-7>5-x

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$

№4. Решить систему неравенств ${\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 x + 3 \leq x^{2} \end{cases}$

Показать решение

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

$x + 4 > 0$

$x > - 4$

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем второе неравенство системы

$2 x + 3 \leq x^{2}$

$- x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$

Решаем методом интервалов.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$a = - 1, b = 2, c = 3$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 =$ $4 + 12 = 16$

$D > 0$ – два различных действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{- 2 \pm 4}{- 2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{- 2 - 4}{- 2} = \frac{- 6}{- 2} = 3 \\ \frac{- 2 + 4}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1 \end{array}$

Наносим точки на ось $x$ и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Решение квадратного неравенства 2x+3≤x^2

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Наносим оба решения на ось $x .$

Решение системы неравенств x+4>0; 2x+3<=x^2

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения $\cup .$

Точка $-4$ будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки $-1$ и $3$ в квадратных, так как они жирные.

Ответ: $x \in (- 4; - 1] \cup [3; + \infty)$

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.