В этом уроке вы научитесь совершать преобразования выражений, используя свойства степеней, свойства квадратного корня, формулы сокращенного умножения. А ещё мы посмотрим различные примеры на эти темы.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Содержание страницы:
Свойства степеней
Свойства квадратного корня
Рациональны и иррациональные числа
Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня
Формулы сокращенного умножения
Преобразования и вычисления
Для того, чтобы упрощать различные алгебраические выражения, нужно уметь совершать преобразования с квадратным корнем, применять свойства степеней и уметь раскладывать многочлен на множители путем вынесения общего множителя за скобки, путем группировки слагаемых и по формулам сокращенного умножения.
Свойства степеней:
Пример:
$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$
Пример:
$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 – 3}} = {a^1} = a$$
Пример:
$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$
Пример:
$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$
Пример:
$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$
Примеры:
$${a^{ – 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ – 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$
Свойства квадратного корня:
Для того, чтобы совершать преобразования с выражениями, которые содержат квадратный корень, нужно знать определение квадратного корня и свойства квадратного корня.
Пример:
Пример:
Пример:
Примеры:
Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби где – целое число ( ), – натуральное ( ).
Примеры рациональных чисел:
Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби , это бесконечные непериодические десятичные дроби.
Примеры иррациональных чисел:
Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи . Это означает, что число есть число рациональное.
Аналогично, число есть число рациональное.
В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать такие преобразования, как вынесение множителя из-под знака квадратного корня и внесение множителя под знак корня.
Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня
При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.
Пример:
Упростить выражение .
1 способ (вынесение множителя из-под знака корня):
2 способ (внесение множителя под знак корня):
Формулы сокращенного умножения (ФСУ)
Преобразования линейных и дробно рациональных алгебраических выражений могут быть менее болезненными, если знать (и помнить) формулы сокращенного умножения. Вот они:
Квадрат суммы
Пример:
Квадрат разности
Пример:
Сумма квадратов не раскладывается на множители
Разность квадратов
Пример:
Куб суммы
Пример:
Куб разности
Пример:
Сумма кубов
Пример:
Разность кубов
Пример:
Как мы видим из примеров, преобразования по формулам сокращенного умножения позволяют раскладывать многочлен на множители. В задачах с дробно рациональными выражениями разложение на множители числителя и знаменателя может привести к дальнейшему сокращению общих множителей в них.
Стандартный вид числа
Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.
Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.
Примеры:
;
;
;
. Красным цветом выделена первая значащая цифра.
Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:
- Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
- Полученное число умножить на , где – число, которое определяется следующим образом:
- , если запятая сдвигалась влево (умножение на , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
- , если запятая сдвигалась вправо (умножение на , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
- абсолютная величина числа равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.
Примеры:
Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.
Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как , но поскольку , оставляем число в первоначальном виде.
Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.
Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.
Задание №8 из ОГЭ 2024. Типовые задачи на преобразования выражений и принцип их решения.
Скачать домашнее задание к уроку.