Преобразования алгебраических выражений

В этом уроке вы научитесь совершать преобразования выражений, используя свойства степеней, свойства квадратного корня, формулы сокращенного умножения. А ещё мы посмотрим различные примеры на эти темы.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Преобразования и вычисления

Для того, чтобы упрощать различные алгебраические выражения, нужно уметь совершать преобразования с квадратным корнем, применять свойства степеней и уметь раскладывать многочлен на множители путем вынесения общего множителя за скобки, путем группировки слагаемых и по формулам сокращенного умножения.

Свойства степеней:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \boxed{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}\end{array}$$

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}\end{array}$$

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 – 3}} = {a^1} = a$$

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \boxed{{(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n}\end{array}$$

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \boxed{{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}}\end{array}$$

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \boxed{{(a^m)}^n=a^{m\cdot n}}\end{array}$$

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}\end{array}$$

Примеры:

$${a^{ – 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ – 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Свойства квадратного корня:

Для того, чтобы совершать преобразования с выражениями, которые содержат квадратный корень, нужно знать определение квадратного корня и свойства квадратного корня.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \boxed{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\text{, при }a\ge 0\text{, }b\ge 0}\end{array}$$

Пример:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\text{, при }a\ge 0\text{, }b>0}\end{array}$$

Пример:

$$\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}}=\frac{2}{9}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \boxed{{\left(\sqrt{a}\right)}^2=a\text{, при }a\ge 0}\end{array}$$

Пример:

$${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$$

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \boxed{\sqrt{a^2}=\left|a\right|\text{ при любом }a}\end{array}$$

Примеры:

$$\sqrt{{(-3)}^2}=\left|-3\right|=3\text{, }\sqrt{4^2}=\left|4\right|=4\text{.}$$

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $$\frac{m}{n}$$ где $m$ – целое число ($\mathbb{Z}=\mathrm{0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\pm 3\dots$ ), $n$ – натуральное ($\mathbb{N}=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}4\dots$ ).

Примеры рациональных чисел:

$$\frac{1}{2};-\frac{9}{4};\mathrm{0,3333}\dots =\frac{1}{3};8;-1236.$$

Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби ${\displaystyle \frac{m}{n}}$, это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры иррациональных чисел:

$$e=\mathrm{2,71828182845\dots }$$

$$\pi =\mathrm{3,1415926\dots }$$

$$\sqrt{2}=\mathrm{1,414213562\dots }$$

$$\sqrt{3}=\mathrm{1,7320508075\dots }$$

Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число $\sqrt{4}$ содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи $\sqrt{4}=2$. Это означает, что число $\sqrt{4}$ есть число рациональное.

Аналогично, число ${\displaystyle \sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}}=\frac{2}{9}}$ есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать такие преобразования, как вынесение множителя из-под знака квадратного корня и внесение множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

Пример:

Упростить выражение ${\displaystyle \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}}}$.

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня):$$\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{4}\cdot \cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}=2\cdot 2=4$$

2 способ (внесение множителя под знак корня):$$\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2^2}\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{4\cdot 8}{2}}=\sqrt{16}=4$$

 

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Преобразования линейных и дробно рациональных алгебраических выражений могут быть менее болезненными, если знать (и помнить) формулы сокращенного умножения. Вот они:

Квадрат суммы

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \boxed{{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}{\left(3x+4y\right)}^2=\\ {\left(3x\right)}^2+2\cdot 3x\cdot 4y+{\left(4y\right)}^2=\\ 9x^2+24xy+16y^2\end{array}$$

 

Квадрат разности

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}{\left(5x-2y\right)}^2=\\ {(5x)}^2-2\cdot 5x\cdot 2y+{\left(2y\right)}^2=\\ 25x^2-20xy+4y^2\end{array}$$

 

Сумма квадратов не раскладывается на множители

$$\begin{array}{l}\boxed{a^2+b^2\ne }\end{array}$$

 

Разность квадратов

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \boxed{a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}25x^2-4y^2=\\ {\left(5x\right)}^2-{\left(2y\right)}^2=\\ \left(5x-2y\right)\left(5x+2y\right)\end{array}$$

 

Куб суммы

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \boxed{{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\left(x+3y\right)}^3=\\ {\left(x\right)}^3+3\cdot {\left(x\right)}^2\cdot \left(3y\right)+3\cdot \left(x\right)\cdot {\left(3y\right)}^2+{\left(3y\right)}^3=\end{array}\hfill \\ \begin{array}{l}{x}^3+3\cdot x^2\cdot 3y+3\cdot x\cdot 9y^2+27y^3=\\ x^3+9x^{2}y+27x{y}^2+27y^3\end{array}\hfill \end{array}$$

 

Куб разности

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \boxed{{\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\left(x^2-2y\right)}^3=\\ {\left(x^2\right)}^3-3\cdot {\left(x^2\right)}^2\cdot \left(2y\right)+3\cdot \left(x^2\right)\cdot {\left(2y\right)}^2-{\left(2y\right)}^3=\end{array}\hfill \\ \begin{array}{l}{x}^{2\cdot 3}-3\cdot x^{2\cdot 2}\cdot 2y+3\cdot x^2\cdot 4y^2-8y^3=\\ x^6-6x^{4}y+12x^2{y}^2-8y^3\end{array}\hfill \end{array}$$

 

Сумма кубов

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \boxed{a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}8+x^3=2^3+x^3=\\ \left(2+x\right)\left(2^2-2\cdot x+x{}^2\right)=\\ \left(x+2\right)\left(4-2x+x^2\right)\end{array}$$

 

Разность кубов

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \boxed{a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{l}{x}^6-27y^3={\left(x^2\right)}^3-{\left(3y\right)}^3=\\ \left(x^2-3y\right)\left({\left(x^2\right)}^2+\left(x^2\right)\left(3y\right)+{(3y)}^2\right)=\\ \left(x^2-3y\right)\left(x^4+3x^{2}y+9y^2\right)\end{array}$$

Как мы видим из примеров, преобразования по формулам сокращенного умножения позволяют раскладывать многочлен на множители. В задачах с дробно рациональными выражениями разложение на множители числителя и знаменателя может привести к дальнейшему сокращению общих множителей в них.

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Примеры:
$25$;  $3,05$;  $0,143$;  $0,0012$. Красным цветом выделена первая значащая цифра.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
2. Полученное число умножить на ${10}^n$, где $n$ – число, которое определяется следующим образом:
3. $n>0$, если запятая сдвигалась влево (умножение на ${10}^n$, указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
4. $n<0$, если запятая сдвигалась вправо (умножение на ${10}^n$, указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. абсолютная величина числа $n$ равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.

Примеры:

$$25=2\mathrm{,}\underleftarrow{5}\text{},=\mathrm{2,5}\cdot {10}^1$$

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

$$3\mathrm{,}05$$

Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как $\mathrm{3,05}\cdot {10}^0$, но поскольку ${10}^0=1$, оставляем число в первоначальном виде.

$$\mathrm{0,143}=\mathrm{0,}\underrightarrow{1}\mathrm{,}43=\mathrm{1,43}\cdot {10}^{-1}$$

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

$$-\mathrm{0,0012}=-\mathrm{0,}\underrightarrow{0}\underrightarrow{0}\underrightarrow{1}\mathrm{,}2=-\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-3}$$

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

 

Задание №8 из ОГЭ 2024. Типовые задачи на преобразования выражений и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку.