Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
- Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):
- Приравнять числитель дроби к нулю Найти нули числителя.
- Приравнять знаменатель дроби к нулю Найти нули знаменателя.
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
- Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось
Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось нули знаменателя всегда выколотые.
Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось нули числителя выколотые .
Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось нули числителя жирные.
- Расставить знаки на интервалах.
- Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду
- Приравниваем числитель к нулю
– это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось будет выколотым. Запомним это.
- Приравниваем знаменатель к нулю
– это ноль знаменателя. При нанесении на ось точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка . Подставляем эту точку в исходное выражение
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка будет
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства выбираем в ответ интервалы со знаком
В ответ пойдут два интервала. Точки и будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.
Ответ:
№2. Решить неравенство
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Привести неравенство к виду
- Приравнять числитель к нулю
– ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось точка будет жирной.
- Приравнять знаменатель к нулю
– это ноль знаменателя. При нанесении на ось , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка . Подставляем эту точку в исходное выражение
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка будет
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства выбираем в ответ интервалы со знаком
В ответ пойдут два интервала. Точка будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка будет в квадратных скобках, так как она жирная.
Ответ:
№3. Решить неравенство
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду
- Приравнять числитель к нулю
– нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось точки будут выколотыми.
- Приравнять знаменатель к нулю
– это ноль знаменателя. При нанесении на ось , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка . Подставляем эту точку в исходное выражение
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка будет
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства выбираем в ответ интервалы со знаком
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ:
Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».
Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.