Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

$\frac{f (x)}{g (x)} < 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} > 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0$

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

$\frac{x - 1}{x + 3} < 0$ $\frac{3}{(x + 8)} \leq 5$ $\frac{x^{2} - 1}{x} > 0$ $\frac{x + 20}{x} \geq x + 3$

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

$\frac{f (x)}{g (x)} < 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} > 0$ $\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0$

Приравнять числитель дроби к нулю $f (x) = 0.$ Найти нули числителя.

Приравнять знаменатель дроби к нулю $g (x) = 0.$ Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось $x$ будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось $x .$

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось $x$ нули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось $x$ нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось $x$ нули числителя жирные.

Расставить знаки на интервалах.

Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство $\frac{x - 1}{x + 3} > 0.$

Показать решение

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду $\frac{f (x)}{g (x)} > 0.$

Приравниваем числитель к нулю $f (x) = 0.$

$x - 1 = 0$

$x = 1$ – это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось $x$ будет выколотым. Запомним это.

Приравниваем знаменатель к нулю $g (x) = 0.$

$x + 3 = 0$

$x = - 3$ – это ноль знаменателя. При нанесении на ось $x$ точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось $x$ .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $2$ . Подставляем эту точку в исходное выражение $\frac{f (x)}{g (x)} :$ $\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{2 - 1}{2 + 3} = \frac{1}{5} > 0,$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $2$ будет $+.$

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства $>,$ выбираем в ответ интервалы со знаком $+.$

В ответ пойдут два интервала. Точки $-3$ и $1$ будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Решение дробно рационального неравенства (x-1)/(x+3)<0

Ответ: $x \in (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$

№2. Решить неравенство $\frac{3}{(x + 8)} \leq 5.$

Показать решение

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Привести неравенство к виду $\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0.$

$\frac{3}{(x + 8)} \leq 5$

$\frac{3}{(x + 8)} - 5^{\^{x + 8}} \leq 0$

$\frac{3}{x + 8} - \frac{5 (x + 8)}{x + 8} \leq 0$

$\frac{3 - 5 (x + 8)}{x + 8} \leq 0$

$\frac{3 - 5 x - 40}{x + 8} \leq 0$

$\frac{- 5 x - 37}{x + 8} \leq 0$

Приравнять числитель к нулю $f (x) = 0.$

$- 5 x - 37 = 0$

$- 5 x = 37$

$x = \frac{- 37}{5} = - \frac{37}{5} = - 7,4$

$x = - 7,4$ – ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось $x$ точка будет жирной.

Приравнять знаменатель к нулю $g (x) = 0.$

$x + 8 = 0$

$x = - 8$ – это ноль знаменателя. При нанесении на ось $x$ , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось $x .$

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $0$ . Подставляем эту точку в исходное выражение $\frac{f (x)}{g (x)} :$

$\frac{- 5 x - 37}{x + 8} =$ $\frac{- 5 \cdot 0 - 37}{0 + 8} = \frac{- 37}{8} < 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $0$ будет $-.$

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства $\leq,$ выбираем в ответ интервалы со знаком $-.$

В ответ пойдут два интервала. Точка $-8$ будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка $-7,4$ будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Решение дробно рационального неравенства 3/(x+8)≤5

Ответ: $x \in (- \infty; - 8) \cup [- 7,4; + \infty)$

№3. Решить неравенство $\frac{x^{2} - 1}{x} > 0.$

Показать решение

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду $\frac{f (x)}{g (x)} > 0.$

Приравнять числитель к нулю $f (x) = 0.$

$x^{2} - 1 = 0$

$(x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow$ $[\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array}$ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 1$ – нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось $x$ точки будут выколотыми.

Приравнять знаменатель к нулю $g (x) = 0.$

$x = 0$ – это ноль знаменателя. При нанесении на ось $x$ , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось $x .$

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $2$ . Подставляем эту точку в исходное выражение $\frac{f (x)}{g (x)} :$

$\frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{2^{2} - 1}{2} =$ $\frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} > 0,$ Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $2,$ будет $+.$

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства $>,$ выбираем в ответ интервалы со знаком $+.$

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Решение дробно рационального неравенства (x^2-1)/x>0

Ответ: $x \in (- 1; 0) \cup (1; + \infty)$

Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.