Дробно рациональные неравенства

      Комментарии к записи Дробно рациональные неравенства отключены

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) 5 x 2 1 x > 0 x + 20 x x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

  1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) 0

  1. Приравнять числитель дроби к нулю   f ( x ) = 0.  Найти нули числителя.
  1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g ( x ) = 0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

  1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

  1. Расставить знаки на интервалах.
  1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x 1 x + 3 > 0.

 

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) 5.

 

№3. Решить неравенство   x 2 1 x > 0.

 

Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».

 

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.