В этом уроке вы узнаете, что такое обыкновенная дробь, смешанная дробь, десятичная дробь, какие бывают действия с дробями. Познакомитесь с понятием степень числа и узнаете про свойства степеней. Ну и конечно же мы рассмотрим примеры, куда же без них.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Действия с дробями

Действия со степенями

Примеры решений заданий из ОГЭ

 

Действия с дробями

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь – дробь вида

$$\frac{a}{b}$$

где число $a$ – числитель дроби, число $b$ – знаменатель.
Примеры:

$$\frac{1}{2};\frac{6}{5};\frac{3}{1};\frac{7}{15}.$$

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Дробь называется правильной, если числитель $(a)$ меньше знаменателя $(b)$.
Примеры:

$$\frac{5}{6};\frac{3}{4}.$$

Дробь называется неправильной, если числитель $(a)$ больше знаменателя $(b)$.
Примеры:

$$\frac{6}{5};\frac{3}{1}.$$

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:

$$\frac{12}{16}=\frac{3?<!--\; ?\; -->\xcancel{4}}{4?<!--\; ?\; -->\xcancel{4}}=\frac{3}{4}$$

$$\frac{21}{14}=\frac{3?<!--\; ?\; -->\xcancel{7}}{2?<!--\; ?\; -->\xcancel{7}}=\frac{3}{2}$$

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:

$$\frac{2}{5};\frac{9}{11};\frac{125}{126}.$$

Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:

$$3\frac{1}{2};2\frac{7}{8};90\frac{12}{77}.$$

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

$$3\frac{1}{2}=\frac{3\cdot <!--\; ?\; -->2+1}{2}=\frac{7}{2}$$

$$2\frac{7}{8}=\frac{2\cdot <!--\; ?\; -->8+7}{8}=\frac{23}{8}$$

$$90\frac{12}{77}=\frac{90\cdot <!--\; ?\; -->77+12}{77}=\frac{6942}{77}$$

Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:

$\mathrm{56,002}$;   $\mathrm{4,125}$;   $\mathrm{12,3}$;   $\mathrm{0,01}$.

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

$$\mathrm{56,002}=56\frac{2}{1000}=56\frac{1}{500}$$

$$\mathrm{56,002}=56\frac{2}{1000}=56\frac{1}{500}$$

Перевод в обыкновенные дроби:

$$12,3=12\frac{3}{10}=\frac{12\cdot <!--\; ?\; -->10+3}{10}=\frac{123}{10}$$ $$0,01=\frac{1}{100}$$

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

• превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть,
  например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\]
• найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
• произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Примеры:

$$\begin{array}{l}\text{(1)}& 2\frac{1}{6}+1\frac{7}{8}=\frac{2\cdot 6+1}{6}+\frac{1\cdot 8+7}{8}=\frac{13}{6}+\frac{15}{8}=\frac{13\cdot 4}{6\cdot 4}+\frac{15\cdot 3}{8\cdot 3}=\\ \frac{52+45}{24}=\frac{97}{24}=4\frac{1}{24}\end{array}$$

 

$$\begin{array}{l}\text{(2)}& 3\frac{7}{12}-2\frac{3}{16}=\frac{3\cdot 12+7}{12}-\frac{2\cdot 16+3}{16}=\frac{43}{12}-\frac{35}{16}=\frac{43\cdot 4}{12\cdot 4}-\frac{35\cdot 3}{16\cdot 3}=\\ \frac{172-105}{48}=\frac{67}{48}=1\frac{19}{48}\end{array}$$

 

$$\begin{array}{l}\text{(3)}& 2\frac{3}{14}-\mathrm{0,6}=\frac{2\cdot 14+3}{14}-\frac{6}{10}=\frac{31}{14}-\frac{3}{5}=\frac{31\cdot 5}{14\cdot 5}-\frac{3\cdot 14}{5\cdot 14}=\\ \frac{155-42}{70}=\frac{113}{70}=1\frac{43}{70}\end{array}$$

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]

Примеры:

$$\begin{array}{l}\text{(1)}& 2\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{11}÷\mathrm{0,5}=\frac{{\xcancel{11}}^1}{{\cancel{4}}_1}\cdot \frac{{\cancel{8}}^2}{{\xcancel{11}}_1}÷\frac{{\bcancel{5}}^1}{{\bcancel{10}}_2}=2÷\frac{1}{2}=2\cdot \frac{2}{1}=4\end{array}$$

 

$$\begin{array}{l}\text{(2)}& 6÷\mathrm{2,25}\cdot \mathrm{1,5}=\frac{6}{1}÷2\frac{1}{4}\cdot 1\frac{{\cancel{5}}^1}{{\cancel{10}}_2}=\frac{6}{1}÷\frac{9}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{{\cancel{6}}^3}{1}\cdot \frac{4}{{\bcancel{9}}_3}\cdot \frac{{\bcancel{3}}^1}{{\cancel{2}}_1}=4\end{array}$$

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac{4}{7} < \frac{5}{7};\;\;\;\; \frac{3}{{14}} > \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} < \frac{{55}}{3}.\]

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac{2}{7} < \frac{2}{5};\;\;\;\; \frac{7}{6} > \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{2^{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3^{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}} < \frac{{15}}{{35}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{2}{5} < \frac{3}{7}\]

Пример 2:

\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{5^{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7^{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]

Действия со степенями.

$a^n$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.

$a$ — основание степени, $n$ — показатель.

$a^n=\underset{nраз}{\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{...}\cdot a}}$ — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Любое число $a$ можно представить в виде $a=a^1$. То есть $2=2^1$, $15=15^1$ и так далее.

Единицу можно представить, как произвольное число в степени $0$, то есть $1=2^0=15^0\dotsc$

Единицу можно возводить в любую степень, то есть $1=1^n=1^0=1^1=1^8=1^{146}\dotsc$

Ноль в любой натуральной степени есть ноль, то есть: $0 = {0^n} = {0^1} = {0^{15}} = {0^{179}}\dotsc$ где $n \ne 0$.

Запись $\xcancel{0^0}$ в математике не имеет смысла.

Свойства степеней с натуральным показателем:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \boxed{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}\end{array}$$

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}\end{array}$$

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 - 3}} = {a^1} = a$$

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \boxed{{(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n}\end{array}$$

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \boxed{{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}}\end{array}$$

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \boxed{{(a^m)}^n=a^{m\cdot n}}\end{array}$$

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}\end{array}$$

Примеры:

$${a^{ - 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ - 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Возведение отрицательных чисел в степень

Отрицательное число, возведенное в нечётную степень есть число отрицательное
Примеры:

\[{( - 2)^3} = - ({2^3}) = - 8;\] \[{( - 1)^5} = - ({1^5}) = - 1;\] \[{( - 6)^1} = - 6;\] \[{( - 10)^3} = - ({10^3}) = - 1000.\]

Отрицательное число, возведенное в чётную степень есть число положительное
Примеры:

\[{( - 2)^4} = {2^4} = 16;\] \[{( - 1)^{10}} = {1^{10}} = 1;\] \[{( - 10)^6} = {10^6} = 1000000.\]

 

Задание №6 из ОГЭ 2024. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку.