В этом уроке вы познакомитесь с такими понятиями, как числовые последовательности, арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. А также научитесь решать задачи по этим темам.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Содержание страницы:
Числовые последовательности
Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.
Примеры числовых последовательностей:
- Натуральные числа:
- Квадраты натуральных чисел:
- Все целые числа от до
Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.
Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).
- Натуральные числа:
- Квадраты натуральных чисел:
- Все целые числа от до :
Последовательности могут быть бесконечными и конечными
Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:
- Словесный. Последовательность описывается словами.
Примеры:
- натуральные числа,
- квадратуры натуральных чисел,
- все целые числа от до
- Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Примеры:
- – последовательность натуральных чисел,
- – последовательность квадратов натуральных чисел,
- – последовательность целых чисел от до
- Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Примеры:
- – последовательность натуральных чисел.
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
и так далее…
- – последовательность квадратов натуральных чисел.
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
и так далее…
- – последовательность целых чисел от до
Последний член последовательности будет , так как не удовлетворяет условию
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.
Разностью арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.
Числовая последовательность будет являться арифметической прогрессией, если:
Арифметическая прогрессия может быть
- возрастающей, если
- убывающей, если
- стабильной (постоянной), если
Примеры арифметической прогрессии:
Формулы арифметической прогрессии
Определение:
Разность:
Формула n-го члена:
Сумма n первых членов:
Свойства:
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.
Знаменателем геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.
В геометрической прогрессии есть ограничения:
Числовая последовательность
будет являться геометрической прогрессией, если:
Геометрическая прогрессия может быть
- возрастающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя больше единицы, т.е.
- убывающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя меньше единицы, т.е.
- знакопеременной, если знаменатель меньше нуля, т.е.
Примеры геометрической прогрессии:
Формулы геометрической прогрессии
Определение:
Знаменатель:
Формула n-го члена:
Сумма n первых членов:
Свойства:
Задание №14 из ОГЭ 2024. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Числовые последовательности.
Скачать домашнее задание к уроку.