В этом уроке вы познакомитесь с такими понятиями, как числовые последовательности, арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. А также научитесь решать задачи по этим темам.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Числовые последовательности

Способы задания последовательностей

Арифметическая прогрессия

Формулы арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Формулы геометрической прогрессии

Примеры решений заданий из ОГЭ

Числовые последовательности

Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.

$a_{n} = f (n), n \in ℕ$ Примеры числовых последовательностей:

Натуральные числа: $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; …$

Квадраты натуральных чисел: $1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; \dots$

Все целые числа от $-3$ до $3 :$ $- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3.$

Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.

Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).

Натуральные числа:

$a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3,$ $a_{4} = 4,$ $a_{5} = 5, …$

Квадраты натуральных чисел:

$a_{1} = 1,$ $a_{2} = 4,$ $a_{3} = 9,$ $a_{4} = 16,$ $a_{5} = 25, …$

Все целые числа от $-3$ до $3$ :

$a_{1} = - 3,$ $a_{2} = - 2,$ $a_{3} = - 1,$ $a_{4} = 0,$ $a_{5} = 1,$ $a_{6} = 2,$ $a_{7} = 3.$

Последовательности могут быть бесконечными $(1 и 2)$ и конечными $(3) .$

Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:

Словесный. Последовательность описывается словами.

Примеры:

натуральные числа,
квадратуры натуральных чисел,
все целые числа от $-3$ до $3 .$

Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: $a_{n} = f (n) .$ По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Примеры:

$a_{n} = n$ – последовательность натуральных чисел,
$a_{n} = n^{2}$ – последовательность квадратов натуральных чисел,
$a_{n} = n - 4, n \in [1; 7]$ – последовательность целых чисел от $-3$ до $3 .$

Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Примеры:

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 1$ – последовательность натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

$a_{1} = 1$

$n = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{2} = a_{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

$n = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{3} = a_{2} + 1 = 2 + 1 = 3$

$n = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{4} = a_{3} + 1 = 3 + 1 = 4$

$n = 4, a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{5} = a_{4} + 1 = 4 + 1 = 5$

и так далее…

$a_{1} = 1, a_{n} + 1 = {(\sqrt{a_{n}} + 1)}^{2}$ – последовательность квадратов натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

$a_{1} = 1;$

$n = 1, a_{n + 1} = {(\sqrt{a_{n}} + 1)}^{2} \Rightarrow$ $a_{2} = {(\sqrt{a_{1}} + 1)}^{2} = {(\sqrt{1} + 1)}^{2} =$ $2^{2} = 4$

$n = 2, a_{n + 1} = {(\sqrt{a_{n}} + 1)}^{2} \Rightarrow$ $a_{3} = {(\sqrt{a_{2}} + 1)}^{2} = {(\sqrt{4} + 1)}^{2} =$ $3^{2} = 9$

$n = 3, a_{n + 1} = {(\sqrt{a_{n}} + 1)}^{2} \Rightarrow$ $a_{4} = {(\sqrt{a_{3}} + 1)}^{2} = {(\sqrt{9} + 1)}^{2} =$ $4^{2} = 16$

$n = 4, a_{n + 1} = {(\sqrt{a_{n}} + 1)}^{2} \Rightarrow$ $a_{5} = {(\sqrt{a_{4}} + 1)}^{2} = {(\sqrt{16} + 1)}^{2} =$ $5^{2} = 25$

и так далее…

$a_{1} = - 3, a_{n + 1} = a_{n} + 1,$ $a_{n} \leq 3$ – последовательность целых чисел от $-3$ до $3 .$

$a_{1} = - 3; a_{n} \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{2} = a_{1} + 1 = - 3 + 1 = - 2;$ $- 2 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{3} = a_{2} + 1 = - 2 + 1 = - 1;$ $- 1 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{4} = a_{3} + 1 = - 1 + 1 = 0;$ $0 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{5} = a_{4} + 1 = 0 + 1 = 1;$ $1 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{6} = a_{5} + 1 = 1 + 1 = 2;$ $2 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{7} = a_{6} + 1 = 2 + 1 = 3;$ $3 \leq 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + 1 \Rightarrow$ $a_{8} = a_{7} + 1 = 3 + 1 = 4;$ $4 \leq 3$

Последний член последовательности будет $a_{7}$ , так как $a_{8}$ не удовлетворяет условию $a_{n} \leq 3$

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией ${a_{n}}$ называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Разностью $d$ арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.

$d = a_{n + 1} - a_{n}$

Числовая последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, …$ будет являться арифметической прогрессией, если:

$a_{2} = a_{1} + d$ $a_{3} = a_{2} + d$ $…$ $a_{n} = a_{n - 1} + d$

Арифметическая прогрессия может быть

возрастающей, если $d > 0$ $(0; 2; 4; 6; 8; …)$
убывающей, если $d < 0$ $(0; - 2; - 4; - 6; - 8; …)$
стабильной (постоянной), если $d = 0$ $(5; 5; 5; 5; 5; …)$

Примеры арифметической прогрессии:

$1; 3; 5; 7; 9; …$ $a_{1} = 1, d = 2$
$10; 5; 0; - 5; - 10; - 15; …$ $a_{1} = 10, d = - 5$
$4; 4; 4; 4; 4; …$ $a_{1} = 4, d = 0$

Формулы арифметической прогрессии

Определение:

$\begin{array}{l} (1) & a_{n + 1} = a_{n} + d \end{array}$

Разность:

$\begin{array}{l} (2) & d = a_{n + 1} - a_{n} \end{array}$

Формула n-го члена:

$\begin{array}{l} (3) & a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \end{array}$

Сумма n первых членов:

$\begin{array}{l} (4) & S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n \end{array}$

Свойства:

$\begin{array}{l} (5) & a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} (6) & a_{n} = \frac{a_{n - k} + a_{n + k}}{2} \end{array}$

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией ${b_{n}}$ называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.

Знаменателем $q$ геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$

В геометрической прогрессии есть ограничения: $b_{1} \neq 0, q \neq 0.$
Числовая последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, …$ будет являться геометрической прогрессией, если: $b_{2} = b_{1} \cdot q$ $b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} \cdot q^{2}$ $…$ $b_{n} = b_{n - 1} \cdot q = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Геометрическая прогрессия может быть

возрастающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя больше единицы, т.е. $| q | > 1;$
убывающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя меньше единицы, т.е. $| q | < 1;$
знакопеременной, если знаменатель меньше нуля, т.е. $q < 0.$

Примеры геометрической прогрессии:

$1; 3; 9; 27; 81; …$ $b_{1} = 1, q = 3$
$8; 4; 2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; …$ $b_{1} = 8, q = \frac{1}{2}$
$1; - 2; 4; - 8; 16; …$ $b_{1} = 1, q = - 2$

Формулы геометрической прогрессии

Определение:

$\begin{array}{l} (1) & b_{n + 1} = b_{n} \cdot q \end{array}$

Знаменатель:

$\begin{array}{l} (2) & q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \end{array}$

Формула n-го члена:

$\begin{array}{l} (3) & b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1} \end{array}$

Сумма n первых членов:

$\begin{array}{l} (4) & S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1} \end{array}$

Свойства:

$\begin{array}{l} (5) & b_{n} = \sqrt{b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} (6) & b_{n} = \sqrt{b_{n - k} \cdot b_{n + k}} \end{array}$

Задание №14 из ОГЭ 2024. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Числовые последовательности.

Скачать домашнее задание к уроку.