Алгебра. Графики функций

В этом уроке вы познакомитесь с такими понятиями, как линейная функция, квадратичная функция, функция обратной пропорциональности, функция квадратного корня. Кроме того, узнаете, что такое возрастающая функция и убывающая функция, что такое наибольшее значение функции и наименьшее значение функции, а также узнаете, как решать задания, входящие в ОГЭ 2024 по математике на тему “Графики функций”.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Содержание страницы:

 

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось $x$ ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось $y$ ) – вертикальная ось.

 

Функция

Функция – это отображение элементов множества $X$ на множество $Y.$ При этом каждому элементу $x$ множества $X$ соответствует одно единственное значение $y$ множества $Y.$

 

Прямая

Линейная функция – функция вида $y=ax+b$ где $a$ и $b$ – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов $a$ и $b:$

Если $a>0,$ прямая будет проходить через $I$ и $III$ координатные четверти.

$b$ – точка пересечения прямой с осью $y.$

 

Если $a<0,$

прямая будет проходить через $II$ и $IV$ координатные четверти.

$b$ – точка пересечения прямой с осью $y.$

 

Если $a=0,$ функция принимает вид $y=b.$

 

Отдельно выделим график уравнения $x=a.$

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции $($функция ставит в соответствие каждому элементу $x$ множества $X$ одно единственно значение $y$ множества $Y).$ Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу $x$ бесконечное множества элементов $y.$ Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

 

 

Гипербола

Графиком функции $y=\frac{k}{x}$ является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось $x$ – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось $y$ – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент $k>0,$ то ветви гиперолы проходят через $I$ и $III$ четверти.

Если $k<\mathrm{0,}$ ветви гиперболы проходят через $II$ и $IV$ четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента $k$ (коэффициент $k$ без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям $x$ и $y.$

 

Квадратный корень

Функция $y=\sqrt{x}$ имеет следующий график:

 

Возрастающие/убывающие функции

Функция $y=f(x)$ возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению $x)$ соответствует большее значение функции (большее значение $y).$

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция $y=f(x)$ убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению $x)$ соответствует меньшее значение функции (большее значение $y).$

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси $y).$ Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси $y).$ Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

 

Задание №11 из ОГЭ 2024. Типовые задачи и принцип их решения.

 

Скачать домашнее задание к уроку.