Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \end{matrix}

где $a$ – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

$x$ – переменная (то есть буква),

$x_{1}$ и $x_{2}$ – числа, корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0,$ которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a \cdot {(x - x_{0})}^{2} \end{matrix}$

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

$- x^{2} + 6 x + 7 = 0 \Rightarrow$ $x_{1} = - 1, x_{2} = 7$

$- x^{2} + 6 x + 7 =$ $(- 1) \cdot (x - (- 1)) (x - 7) =$ $- (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)$

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0; \Rightarrow$ $x_{0} = 2$

$- x^{2} + 4 x - 4 =$ $(- 1) \cdot {(x - 2)}^{2} = - {(x - 2)}^{2}$

Если квадратный трехчлен является неполным $(b = 0$ или $c = 0)$ , то его можно разложить на множители следующими способами:

$c = 0 \Rightarrow$ $a x^{2} + b x = x (a x + b)$

$b = 0 \Rightarrow$ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Задания для самостоятельного решения

№1. Квадратный трёхчлен разложен на множители: $x^{2} + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) .$ Найдите $a .$

Показать решение

Решение:

Для начала необходимо приравнять квадратных трехчлен к нулю, чтобы найти $x_{1}$ и $x_{2} .$

$x^{2} + 6 x - 27 = 0$

$a = 1, b = 6, c = - 27$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27) =$ $36 + 108 = 144$

$D > 0$ – значит будет два различных корня.

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} =$ $[\begin{array}{l} \frac{- 6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{- 6 - 12}{2} = \frac{- 18}{2} = - 9 \end{array}$

Зная корни разложим квадратный трехчлен на множители:

$x^{2} + 6 x - 27 =$ $(x - (- 9)) (x - 3) =$ $(x + 9) (x - 3)$

Ответ: 3

№2. Уравнение $x^{2} + p x + q = 0$ имеет корни $- 5; 7.$ Найдите $q .$

Показать решение

Решение:

1 способ: (надо знать, как раскладывается квадратный трехчлен на множители)

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни квадратного трехчлена $a x^{2} + b x + c,$ то его можно разложить на множители следующим образом: $a x^{2} + b x + c = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) .$

Поскольку в заданном квадратном трехчлене старший коэффициент (множитель перед $x^{2})$ равен единице, то разложение будет следующим:

$x^{2} + p x + q =$ $(x - x_{1}) (x - x_{2}) =$ $(x - (- 5)) (x - 7) =$ $(x + 5) (x - 7) =$ $x^{2} - 7 x + 5 x - 35 =$ $x^{2} - 2 x - 35$

$x^{2} + p x + q =$ $x^{2} - 2 x - 35 \Rightarrow$ $p = - 2, q = - 35$

Ответ: -35

2 способ: (надо знать теорему Виета)

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена $x^{2} + p x + q$ равна его второму коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение – свободному члену $q .$

$\begin{matrix} {\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q \end{cases} \end{matrix}$

$q = x_{1} \cdot x_{2} = (- 5) \cdot 7 = - 35.$

Ответ: -35