Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: $a x^{2} + b x + c > 0$ $a x^{2} + b x + c \geq 0$ $a x^{2} + b x + c < 0$ $a x^{2} + b x + c \leq 0$ где $a, b, c$ – некоторые числа, причем $a \neq 0,$ $x$ – переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения.

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Решить уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ и найти корни $x_{1}$ и $x_{2} .$

Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий $>, <,$ точки будут выколотые.

Решение квадратного неравенства, знак неравенства строгий

Если знак неравенства нестрогий $\geq, \leq,$ точки будут жирные (заштрихованный).

Решение квадратного неравенства, знак неравенства нестрогий

Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка $A$ ) и подставить её значение в выражение $a x^{2} + b x + c$ вместо $x$ .

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Решение квадратного неравенства, знаки на интервалах +-+

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства $>$ или $\geq$ в ответ выбираем интервалы со знаком $+.$

Если знак неравенства $<$ или $\leq$ в ответ выбираем интервалы со знаком $-.$

Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство $x^{2} \geq x + 12.$

Показать решение

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду $a x^{2} + b x + c \geq 0,$ а затем решаем уравнение $a x^{2} + b x + c = 0.$

$x^{2} \geq x + 12$

$x^{2} - x - 12 \geq 0$

$x^{2} - x - 12 = 0$

$a = 1, b = - 1, c = - 12$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) =$ $1 + 48 = 49$

$D > 0 \Rightarrow$ будет два различных действительных корня

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- (- 1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} =$ $\frac{1 \pm 7}{2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ \frac{1 - 7}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3 \end{array}$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $6$ . Подставляем эту точку в исходное выражение:

$x^{2} - x - 1 =$ $6^{2} - 6 - 1 = 29 > 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $6$ будет $+.$

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Решение квадратного неравенства x^2≥x+12

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: $\cup .$

Точки $-3$ и $4$ будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: $x \in (- \infty; - 3] \cup [4; + \infty)$

№2. Решить неравенство $- 3 x - 2 \geq x^{2} .$

Показать решение

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду $a x^{2} + b x + c \geq 0,$ а затем решаем уравнение $a x^{2} + b x + c = 0.$

$- 3 x - 2 \geq x^{2}$

$- x^{2} - 3 x - 2 \geq 0$

$- x^{2} - 3 x - 2 = 0$

$a = - 1, b = - 3, c = - 2$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2) =$ $9 - 8 = 1$

$D > 0 \Rightarrow$ будет два различных действительных корня

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- (- 3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{3 \pm 1}{- 2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{3 + 1}{- 2} = \frac{4}{- 2} = - 2 \\ \frac{3 - 1}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1 \end{array}$

$x_{1} = - 2, x_{2} = - 1$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $0$ . Подставляем эту точку в исходное выражение:

$- x^{2} - 3 x - 2 =$ $- {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 2 = - 2 < 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $0$ будет $- .$

Решение квадратного неравенства -3x-2≥x^2

Поскольку знак неравенства $\geq,$ выбираем в ответ интервал со знаком $+.$

Точки $-2$ и $-1$ будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: $x \in [- 2; - 1]$

№3. Решить неравенство $4 < x^{2} + 3 x .$

Показать решение

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду $a x^{2} + b x + c \geq 0,$ а затем решаем уравнение $a x^{2} + b x + c = 0.$

$4 < x^{2} + 3 x$

$- x^{2} - 3 x + 4 < 0$

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

$a = - 1, b = - 3, c = 4$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4 =$ $9 + 16 = 25$

$D > 0 \Rightarrow$ будет два различных действительных корня

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- (- 3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{3 \pm 5}{- 2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{3 + 5}{- 2} = \frac{8}{- 2} = - 4 \\ \frac{3 - 5}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1 \end{array}$

$x_{1} = - 4, x_{2} = 1$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $2$ . Подставляем эту точку в исходное выражение:

$- x^{2} - 3 x + 4 =$ $- {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 4 = - 6 < 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $2$ , будет $-.$

Решение квадратного неравенства 4<x^2+3x

Поскольку знак неравенства $<,$ выбираем в ответ интервалы со знаком $- .$

Точки $-4$ и $1$ будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: $x \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$

№4. Решить неравенство $x^{2} - 5 x < 6.$

Показать решение

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду $a x^{2} + b x + c \geq 0,$ а затем решаем уравнение $a x^{2} + b x + c = 0.$

$x^{2} - 5 x < 6$

$x^{2} - 5 x - 6 < 0$

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

$a = 1, b = - 5, c = - 6$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) =$ $25 + 25 = 49$

$D > 0 \Rightarrow$ будет два различных действительных корня

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- (- 5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} =$ $\frac{5 \pm 7}{2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ \frac{5 - 7}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \end{array}$

$x_{1} = 6, x_{2} = - 1$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $10.$ Подставляем эту точку в исходное выражение:

$x^{2} - 5 x - 6 =$ $10^{2} - 5 \cdot 10 - 6 =$ $100 - 50 - 6 = 44 > 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $10$ будет $+.$

Решение квадратного неравенства x^2-5x<6

Поскольку знак неравенства $<,$ выбираем в ответ интервал со знаком $-.$

Точки $-1$ и $6$ будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: $x \in (- 1; 6)$

№5. Решить неравенство $x^{2} < 4.$

Показать решение

Решение:

Переносим $4$ в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

$x^{2} < 4$

$x^{2} - 4 < 0$

$x^{2} - 4 = 0$

$(x - 2) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{array}$ $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $3$ . Подставляем эту точку в исходное выражение:

$x^{2} - 4 = 3^{2} - 4 =$ $9 - 4 = 5 > 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет $+.$

Поскольку знак неравенства $<,$ выбираем в ответ интервал со знаком $- .$

Точки $-2$ и $2$ будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: $x \in (- 2; 2)$

№6. Решить неравенство $x^{2} + x \geq 0.$

Показать решение

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения $x^{2} + x = 0.$

$x^{2} + x \geq 0$

$x^{2} + x = 0$

$x (x + 1) = 0 \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array}$ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$

$x_{1} = 0, x_{2} = - 1$

Наносим точки на ось $x$ . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка $1$ . Подставляем эту точку в исходное выражение:

$x^{2} + x = 1^{2} + 1 = 2 > 0$

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка $1$ будет $+.$

Поскольку знак неравенства $\geq,$ выбираем в ответ интервалы со знаком $+.$

В ответ пойдут два интервала. Точки $-1$ и $0$ будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: $x \in (- \infty; - 1] \cup [0; + \infty)$