Линейные уравнения

      Комментарии к записи Линейные уравнения отключены

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a 0 .

Примеры линейных уравнений:

  1. 3 x = 2
  1. 2 7 x = 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x 4 x = 2 1

2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

2 x 2 = 1 2 = 1 2 = 0,5

Ответ: x = 0,5

 

  1. x 2 1 = 0

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

 

  1. x ( x + 3 ) 8 = x 1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x 8 = x 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

 

Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).

Примеры:

  1. 2 x 4 = 2 ( x 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x 4 = 2 x 4

2 x 2 x = 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ( ; + )

 

  1. 2 x 4 = 2 ( x 8 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x 4 = 2 x 16

2 x 2 x = 16 + 4

0 = 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x

Задания для самостоятельного решения

№1. Найдите корни уравнения 2 3 ( 2 x + 2 ) = 5 4 x .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

 

№2. При каком значении x значения выражений 7 x 2 и 3 x + 6 равны?

 

№3. Решите уравнение ( 5 x + 3 ) ( x + 6 ) = 0.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

 

№4. Решите уравнение ( x 4 ) 2 + ( x + 9 ) 2 = 2 x 2 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

 

№5. Решите уравнение ( x + 10 ) 2 = ( 5 x ) 2 .

 

№6. Решите уравнение x 11 = x + 7 7 .