Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида $a x = b,$ где $x$ – переменная, $a$ и $b$ некоторые числа, причем $a \neq 0 .$

Примеры линейных уравнений:

$3 x = 2$

$\frac{2}{7} x = - 5$

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида $a x = b,$ но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду $a x = b ?$ Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину $a .$ В результате получим ответ: $x = \frac{b}{a} .$

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида $a x = b .$ Решение данного линейного уравнения: $x = \frac{b}{a} .$

Примеры решения линейных уравнений:

$2 x + 1 = 2 (2 x - 3) + 8$

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду $a x = b :$

Для начала раскроем скобки:

$2 x + 1 = 4 x - 6 + 8$

В левую часть переносятся все слагаемые с $x,$ в правую – числа:

$2 x - 4 x = 2 - 1$

$- 2 x = 1$

Теперь поделим левую и правую часть на число $(-2) :$

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2} = - 0,5$

Ответ: $x = - 0,5$

$x^{2} - 1 = 0$

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная $x$ равна двум.

$x (x + 3) - 8 = x - 1$

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

$x^{2} + 3 x - 8 = x - 1$

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).

Примеры:

$2 x - 4 = 2 (x - 2)$

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

$2 x - 4 = 2 x - 4$

$2 x - 2 x = - 4 + 4$

$0 = 0$

И как же здесь искать $x,$ если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной $x$ . Какое бы значение $x$ мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит $x$ может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: $x \in (- \infty; + \infty)$

$2 x - 4 = 2 (x - 8)$

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

$2 x - 4 = 2 x - 16$

$2 x - 2 x = - 16 + 4$

$0 = - 12$

В результате преобразований $x$ сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение $x$ мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений $x,$ при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: $x \in \emptyset$

Задания для самостоятельного решения

№1. Найдите корни уравнения $2 - 3 (2 x + 2) = 5 - 4 x .$

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Показать решение

Решение:

Раскрываем скобки:

$2 - 3 (2 x + 2) = 5 - 4 x$

$2 - 6 x - 6 = 5 - 4 x$

Переносим иксы влево, числа вправо:

$- 6 x + 4 x = 5 + 6 - 2$

$- 2 x = 9$

$x = \frac{9}{- 2} = - \frac{9}{2} = - 4,5$

Ответ: -4,5

№2. При каком значении $x$ значения выражений $7 x - 2$ и $3 x + 6$ равны?

Показать решение

Решение:

Приравниваем эти два выражения:

$7 x - 2 = 3 x + 6$

$7 x - 3 x = 6 + 2$

$4 x = 8$

$x = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: 2

№3. Решите уравнение $(- 5 x + 3) (- x + 6) = 0.$

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Показать решение

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.

$(- 5 x + 3) (- x + 6) = 0 \Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} - 5 x + 3 = 0 \\ - x + 6 = 0 \end{array} \Rightarrow$ $[\begin{array}{l} - 5 x = - 3; \\ - x = - 6; \end{array} \Rightarrow$ $[\begin{array}{l} x = \frac{- 3}{- 5} = \frac{3}{5} = 0,6 \\ x = \frac{- 6}{- 1} = \frac{6}{1} = 6 \end{array}$

В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания $0,6 < 6.$

Ответ: 0,6; 6

№4. Решите уравнение ${(x - 4)}^{2} + {(x + 9)}^{2} = 2 x^{2} .$

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Показать решение

Решение:

Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2} - 2 x^{2} = 0$

Замечаем, что $x^{2}$ сокращается:

$x^{2} - 8 x + 4^{2} + x^{2} + 18 x + 9^{2} - 2 x^{2} = 0$

$- 8 x + 18 x + 16 + 81 = 0$

$10 x + 97 = 0$

$10 x = - 97$

$x = \frac{- 97}{10} = - 9,7$

Ответ: -9,7

№5. Решите уравнение ${(x + 10)}^{2} = {(5 - x)}^{2} .$

Показать решение

Решение:

Раскроем скобки, используя ФСУ.

${(x + 10)}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2} =$ $5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + x^{2}$

$x^{2} + 20 x + 100 =$ $25 - 10 x + x^{2}$

$x^{2} + 20 x + 100 - x^{2} + 10 x - 25 = 0$

$30 x + 75 = 0$

$30 x = - 75$

Ответ: -2,5

№6. Решите уравнение $x - 11 = \frac{x + 7}{7} .$

Показать решение

Решение:

$x - 11 = \frac{x + 7}{7}$

Домножим левую и правую часть уравнение на $7$ . Получим:

$7 (x - 11) = x + 7$

$7 x - 77 - x - 7 = 0$

$6 x - 84 = 0$

$6 x = 84$

$x = \frac{84}{6} = 14$

Ответ: 14

Задания для самостоятельного решения

Добавить комментарий Отменить ответ