Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, а стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобие треугольников обозначается значком $«\sim ».$ Запишем подобие двух треугольников:

$$△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$$

Соответственные стороны двух подобных треугольников – это стороны, которые лежат напротив равных углов.

 

 

Пары равных углов:

$\angle A$ и $\angle A_1$

$\angle B$ и $\angle B_1$

$\angle C$ и $\angle C_1$

Пары соответственных сторон:

$BC$ и $B_1{C}_1$

$AC$ и $A_1{C}_1$

$AB$ и $A_1{B}_1$

Представьте себе, что на смартфоне или планшете вы открыли изображение треугольника. Вы захотели получше его рассмотреть и увеличили изображение. Сам треугольник увеличился, но его пропорции сохранились (он не сплюснулся, не вытянулся, просто стал больше). Вот такие два треугольника: исходный и увеличенный будут подобными. Масштаб увеличенной картинки изменился в $k.$ Это число $k$ будет являться коэффициентом подобия этих треугольников.

Коэффициент подобия $k$ это число, равное отношению соответственных сторон подобных треугольников.

 

 

$$k=\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{A_1{C}_1}{AC}=\frac{B_1{C}_1}{BC}$$

 

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

$$\frac{P_{△A_1{B}_1{C}_1}}{P_{△ABC}}=k$$

 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$\frac{S_{△A_1{B}_1{C}_1}}{S_{△ABC}}=k^2$$

 

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

$\begin{array}{l}\angle A=\angle A_1\hfill \\ \angle B=\angle B_1\hfill \end{array}|\Rightarrow$ $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

 

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

 

$\begin{array}{l}\angle A=\angle A_1\hfill \\ \frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{A_1{C}_1}{AC}=k\hfill \end{array}|\Rightarrow$ $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

 

Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

$\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{A_1{C}_1}{AC}=\frac{B_1{C}_1}{BC}=k\Rightarrow$ $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

 

Задачи про часы и стрелки

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых необходимо найти угол между часовой и минутной стрелкой. Давайте разберёмся, как их решать.

Часовой циферблат – это окружность.

Градусная мера всей окружности равна $360°.$

Стрелки – стороны центральных углов.

На окружности 60 маленьких делений и 12 больших.

Каждое маленькое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $\frac{360°}{60}=6°.$

Каждое большое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $\frac{360°}{12}=30°.$

Можно рассуждать, что одна большая дуга содержит пять маленьких, то есть её градусная мера равна $6°\cdot 5=30°.$

 

 

Задачи про колесо со спицами

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых дано колесо со спицами и требуется определить либо угол между соседними спицами (если дано количество спиц), либо количество спиц (если дан угол между соседними спицами). Будем разбираться, как такие задачи решать.

Пусть у нас есть колесо, в котором $n$ спиц. Тогда эти спицы образуют n равных центральных углов $\alpha .$

 

 

Формула, которая связывает количество спиц и угол между двумя соседними:

$\alpha \cdot n=360°$

 

Задачи на лестницу и ступеньки

В задаче данного типа дана лестница, состоящая из $n$ ступенек. Каждая ступенька характеризуется своей высотой (вертикальный отрезок) и длиной (горизонтальный отрезок). Сама лестница характеризуется своей длиной (отрезок $A$$C$), высотой (отрезок $B$$C$) и отрезком $A$$B.$

 

 

Высота всей лестницы – количество ступенек, умноженное на высоту одной ступеньки. Длина всей лестницы – количество ступенек, умноженное на длину одной ступеньки. Для нахождения длины лестницы необходимо применить теорему Пифагора.

 

Задачи на нахождение длин и площадей

Теоретический и практический материал по нахождению площадей треугольников и четырехугольников можно найти в уроках 3 и 4 модуля геометрия.

Перейти по ссылкам: