• Статистика:

Среднее арифметическое
Медиана
Размах
Мода

• Вероятности

Случайное событие
Частота случайного события
Благоприятные/неблагоприятные исходы
Вероятность случайного события
Противоположное событие
Вероятность противоположного события

• Теоремы о вероятностных событиях

Несовместные и совместные события
Теорема сложения вероятностей
Независимые и зависимые события
Теорема умножения вероятностей

• Симметричная монета

• Симметричная игральная кость

• Вычислить среднее арифметическое данных чисел: $\mathrm{ 6,\; 10,\; 16,\; 20.}$

Среднее арифметрическое: $\frac{\left(6+10+16+20\right)}{4}=\frac{52}{4}=13$

• Найти медиану ряда чисел: $\mathrm{ 12,\; 2,\; 11,\; 3,\; 7,\; 10,\; 3}$

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему): $\mathrm{ 2,\; 3,\; 3,}\mathrm{ 7}\mathrm{,\; 10,\; 11,\; 12}$

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число $7.$

• Найти медиану ряда чисел:  $\mathrm{8,\; 3,\; 10,\; 1,\; 16,\; 2,\; 3}$

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):   $\mathrm{2,\; 3, }7,10\mathrm{,\; 11,\; 12}$

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: $7$ и $10.$

Их полусумма равна: $\frac{7+10}{2}=\frac{17}{2}=\mathrm{8,5}$

• Найти размах ряда чисел: $\mathrm{8,\; 3,\; 10,\; 1,\; 16,\; 2,\; 3}$

Для удобства упорядочим этот ряд: $\mathrm{1,\; 2,\; 3,\; 3,\; 8,\; 10,\; 16}$

Наибольшее значение ряда: $16.$ Наименьшее значение ряда: $1.$

Размах:  $16-1=15$

1. Найти моду ряда: $\mathrm{1, }\mathrm{5, }\mathrm{6, }3,\mathrm{10, }\mathrm{32, }\mathrm{4, }3$

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: $3.$

Данный ряд имеет моду: $3.$

1. Найти моду ряда: $\mathrm{5,\; 2,\; 3,\; 4,\; 1,\; 0,\; 8}$

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

1. Найти моду ряда: $9,1,4,10,17,1,33,6,9,8,5,5$

Числа $1,$ $5,$ $\mathrm{9 }$ встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: $1,$ $5,$ $9.$

1. Какова частота события «выпал орёл», если в серии опытов из $20$ бросков монеты решка выпала $8$ раз?

Если решка выпала $8$ раз, то орёл выпал $20-8=12$ раз.

Частота: $\frac{12}{20}=\frac{6}{10}=\mathrm{0,6}$

1. Какова частота события «выпало чётное число очков» в серии опытов из восьми бросков кубика, если результаты представлены в виде числового ряда: $\mathrm{3,\; 2,\; 3,\; 5,\; 1,\; 1,\; 6,\; 4}$

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: $\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}$

• Благоприятные исходы:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

• Неблагоприятные исходы:

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: $m=0,$ так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: $n=3,$ так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

$A=$«достать кролика», посчитаем вероятность этого события. $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{0}{3}=0$$

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: $m=3,$ так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: $n=3,$ так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

$A=$«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{3}{3}=1$$

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: $m=3,$ так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: $n=3+9=12,$ так как всего в шляпе $12$ объектов, которые можно достать.

$A=$«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. $$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{3}{12}=\mathrm{0,25}$$

1. $A:$ «купить молоко», $\overline{A}:$ «не купить молоко»

1. $A:$ «прибор исправен», $\overline{A}:$ «прибор неисправен»

1. $A:$ «выпал орёл», $\overline{A}:$ «выпала решка»

1. $A:$ «на игральной кости выпало нечетное число», $\overline{A}:$ «на игральной кости выпало чётное число»

1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна $\mathrm{0,28.}$ Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Пусть событие $A:$ «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: $\overline{A}:$ «ручка пишет хорошо»

$P(A)=\mathrm{0,28.}$ Найдём вероятность противоположного события по формуле:

$P(\overline{A})=1-P(A)=$ $1-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,72}$

1. В среднем из $100$ карманных фонариков, поступивших в продажу, $8$ неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Пусть событие $A:$ «фонарик неисправен»

Противоположное событие $\overline{A}:$ «фонарик исправен»

$P(A)=\frac{8}{100}=\mathrm{0,08}$

$P(\overline{A})=1-P(A)=$ $1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$

Ответ: 0,92

• Выпадение $1,$ выпадение $5,$ выпадение $6$ при бросании кости

За один бросок может выпасть либо $1,$ либо $5,$ либо $6.$ Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

• Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

1. Паша на экзамене вытягивает билет. Все билеты относятся к одной из трех тем: «углы», «треугольники», «четырехугольники». Вероятность того, что Паше попадется билет по теме «треугольники» равна $\mathrm{0,22},$ вероятность того, что ему попадется билет по теме «четырехугольники» равна $\mathrm{0,31},$ вероятность того, что ему попадется билет по теме «углы» равна $\mathrm{0,47}.$ Паша знает тему «углы» и тему «треугольники», но «четырехугольники» вызывают у него затруднения. Найдите вероятность того, что ему попадется билет по теме «треугольники» или по теме «углы».

Решение:

Событие $A=$ «вытащить билет по теме углы» и событие $B=$ «вытащить билет по теме треугольники» – несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P(A+B)=\mathrm{0,47}+\mathrm{0,22}=\mathrm{0,69}$

Ответ: 0,69

1. Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна $\mathrm{0,001},$ вероятность выиграть денежный приз $\mathrm{0,013},$ вероятность выиграть сувенир $\mathrm{0,04}.$ Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Событие $A=$ «выиграть машину», событие $B=$ «выиграть денежный приз» и событие $C=$ «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A+B+C)=$ $P(A)+P(B)+P(C)$

$P(A+B+C)=$ $\mathrm{0,001}+\mathrm{0,013}+\mathrm{0,04}=$ $\mathrm{0,054}$

Ответ: 0,054

• Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна $\frac{1}{6},$ при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна $\frac{1}{6}.$ Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью $\frac{1}{6},$ вне зависимости от того, что выпадало до этого.

• Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна $\mathrm{0,5},$ при втором броске вероятность выпадения орла равна $\mathrm{0,5},$ при третьем броске вероятность выпадения орла равна $\mathrm{0,5}.$ Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью $\mathrm{0,5},$ вне зависимости от того, что выпадало до этого.

• В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар – два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна $\frac{3}{5}$ (всего шаров $5,$ синих $3$). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ (всего шаров $4,$ синих $2$). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

1. В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Событие $A:$ «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие $B:$ «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

$P(A)=\frac{1}{2}$    (всего шаров два, красных – один).

$P(B)=\frac{4}{5}$    (всего шаров пять, красных четыре).

$P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)$

$P(A\cdot B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\mathrm{0,4}$

Ответ: 0,4

1. Стрелок $3$ раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $\mathrm{0,9}.$ Найдите вероятность того, что стрелок первые $2$ раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

Событие $A:$ «попадание», событие $B:$ «промах». По условию $P(A)=\mathrm{0,9.}$ Найдём вероятность промаха, она равна

$P(B)=1-P(A)=$ $1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

$P(A\cdot A\cdot B)=P(A)\cdot P(A)\cdot P(B)$

$P(A\cdot A\cdot B)=$ $\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,081}$

Ответ: 0,081

1. Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

$P=\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}$

Ответ: 0,375

Симметричная игральная кость в теории вероятности

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6.$ Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна $\frac{1}{6}.$

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Примеры: