Линейные неравенства

Знаки неравенств

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак $=$ поменять на любой из знаков неравенства:

$>$ больше,

$\geq$ больше или равно,

$<$ меньше,

$\leq$ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

$a x < b$ $a x \leq b$ $a x > b$ $a x \geq b$

где $a$ и $b$ - любые числа, причем $a \neq 0,$ $x$ - переменная.

Примеры линейных неравенств:

$3 x < 5$ $x - 2 \geq 0$ $7 - 5 x < 1$ $x \leq 0$

Решить линейное неравенство - получить выражение вида:

$x < c$ $x \leq c$ $x > c$ $x \geq c$

где $c$ - некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий $>, <,$ точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий $\geq, \leq,$ точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
$x < c$		$x \in (- \infty; c)$
$x \leq c$		$x \in (- \infty; c]$
$x > c$		$x \in (c; + \infty)$
$x \geq c$		$x \in [c; + \infty)$

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

$a x < b$ $a x \leq b$ $a x > b$ $a x \geq b$

Пусть получилось неравенство вида $a x \leq b.$ Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент $a.$

Если $a > 0$ то неравенство приобретает вид $x \leq \frac{b}{a} .$

Если $a < 0,$ то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид $x \geq \frac{b}{a} .$

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство $3 (2 - x) > 18.$

Показать решение

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$6 - 3 x > 18$

$- 3 x > 18 - 6$ $- 3 x > 12 | \div (- 3)$

Делим обе части неравенства на ( $-3$ ) - коэффициент, который стоит перед $x$ . Так как $- 3 < 0,$ знак неравенства поменяется на противоположный. $x < \frac{12}{- 3} \Rightarrow x < - 4$ Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: $x \in (- \infty; - 4)$

№2. Решить неравество $6 x + 4 \geq 3 (x + 1) - 14.$

Показать решение

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$6 x + 4 \geq 3 x + 3 - 14$

$6 x - 3 x \geq 3 - 14 - 4$

$3 x \geq - 15 | \div 3$ Делим обе части неравенства на ( $3$ ) - коэффициент, который стоит перед $x$ . Так как $3 > 0,$ знак неравенства после деления меняться не будет.

$x \geq \frac{- 15}{3} \Rightarrow x \geq - 5$ Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: $x \in [- 5; + \infty)$

Особые случаи при решении линейных неравенств

№3. Решить неравенство

6 x - 1 \leq 2 (3 x - 0,5).

Показать решение

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$6 x - 1 \leq 6 x - 1$

$6 x - 6 x \leq - 1 + 1$

$0 \leq 0$

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной $x$ . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная $x$ , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

x - любое число
$x \in (- \infty; + \infty)$
$x \in ℝ$

№4. Решить неравенство $x + 3 (2 - 3 x) > - 4 (2 x - 12).$

Показать решение

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$x + 6 - 9 x > - 8 x + 48$

$- 8 x + 8 x > 48 - 6$

$0 > 42$

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: $x \in \emptyset$

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.