Уравнения. Линейные. Квадратные. Дробно рациональные. Сис...

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида $a x = b,$ но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду $a x = b ?$ Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину $a .$ В результате получим ответ: $x = \frac{b}{a} .$

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида $a x = b .$ Решение данного линейного уравнения: $x = \frac{b}{a} .$

Примеры решения линейных уравнений:

$2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8$

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду $a x = b :$

Для начала раскроем скобки:

$2 x + 1 = 4 x - 6 + 8$

В левую часть переносятся все слагаемые с $x,$ в правую – числа:

$2 x - 4 x = 2 - 1$

$- 2 x = 1$

Теперь поделим левую и правую часть на число $(-2) :$

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2} = - 0,5$

Ответ: $x = - 0,5$

$x^{2} - 1 = 0$

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная $x$ равна двум.

$x (x + 3) - 8 = x - 1$

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

$x^{2} + 3 x - 8 = x - 1$

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

$2 x - 4 = 2 (x - 2)$

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

$2 x - 4 = 2 x - 4$

$2 x - 2 x = - 4 + 4$

$0 = 0$

И как же здесь искать $x,$ если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной $x$ . Какое бы значение $x$ мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит $x$ может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: $x \in (- \infty; + \infty)$

$2 x - 4 = 2 (x - 8)$

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

$2 x - 4 = 2 x - 16$

$2 x - 2 x = - 16 + 4$

$0 = - 12$

В результате преобразований $x$ сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение $x$ мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений $x,$ при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: $x \in \emptyset$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0,$ где $x$ – переменная, $a,$ $b$ и $c$ – некоторые числа, причем $a \neq 0 .$

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: $\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}$
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: $a = \dots$ $b = \dots$ $c = \dots$
Вычислить дискриминант по формуле: $\begin{matrix} D = b^{2} - 4 a c \end{matrix}$
Если $D > 0,$ будет два различных корня, которые находятся по формуле: $\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} \end{matrix}$
Если $D = 0,$ будет один корень, который находится по формуле: $\begin{matrix} x = \frac{- b}{2 a} \end{matrix}$
Если $D < 0,$ решений нет: $x \in \emptyset$

Примеры решения квадратного уравнения:

$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$

$a = - 1, b = 6, c = 7$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7 =$ $36 + 28 = 64$

$D > 0$ – будет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{- 6 \pm 8}{- 2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{- 6 + 8}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1 \\ \frac{- 6 - 8}{- 2} = \frac{- 14}{- 2} = 7 \end{array}$

Ответ: $x_{1} = - 1, x_{2} = 7$

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0$

$a = - 1, b = 4, c = - 4$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4) =$ $16 - 16 = 0$

$D = 0$ – будет один корень:

$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 4}{2 \cdot (- 1)} =$ $\frac{- 4}{- 2} = 2$

Ответ: $x = 2$

$2 x^{2} - 7 x + 10 = 0$

$a = 2, b = - 7, c = 10$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10 =$ $49 - 80 = - 31$

$D < 0$ – решений нет.

Ответ: $x \in \emptyset$

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо $b = 0,$ либо $с = 0,$ либо $b = с = 0$ ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \end{matrix}

где $a$ – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

$x$ – переменная (то есть буква),

$x_{1}$ и $x_{2}$ – числа, корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0,$ которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a \cdot {(x - x_{0})}^{2} \end{matrix}$

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

$- x^{2} + 6 x + 7 = 0 \Rightarrow$ $x_{1} = - 1, x_{2} = 7$

$- x^{2} + 6 x + 7 =$ $(- 1) \cdot (x - (- 1)) (x - 7) =$ $- (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)$

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0; \Rightarrow$ $x_{0} = 2$

$- x^{2} + 4 x - 4 =$ $(- 1) \cdot {(x - 2)}^{2} = - {(x - 2)}^{2}$

Если квадратный трехчлен является неполным, ( $(b = 0$ или $c = 0)$ то его можно разложить на множители следующими способами:

$c = 0 \Rightarrow$ $a x^{2} + b x = x (a x + b)$

$b = 0 \Rightarrow$ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть $f (x)$ и $g (x)$ – некоторые функции, зависящие от переменной $x .$

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида $\frac{f (x)}{g (x)} = 0 .$

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида $\frac{f (x)}{g (x)} = 0$

ОДЗ: $g (x) \neq 0$ (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

Привести выражение к виду $\frac{f (x)}{g (x)} = 0 .$
Выписать ОДЗ: $g (x) \neq 0.$
Приравнять числитель дроби к нулю $f (x) = 0$ и найти корни.
Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение $\frac{x^{2} - 4}{2 - x} = 1.$

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

Привести выражение к виду $\frac{f (x)}{g (x)} = 0 .$

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

$\frac{x^{2} - 4}{2 - x} - 1^{\^{2 - x}} = 0$

$\frac{x^{2} - 4}{2 - x} - \frac{2 - x}{2 - x} = 0$

$\frac{x^{2} - 4 - (2 - x)}{2 - x} = 0$

$\frac{x^{2} - 4 - 2 + x}{2 - x} = 0$

$\frac{x^{2} + x - 6}{2 - x} = 0$

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Выписать ОДЗ:

$g (x) \neq 0$

$2 - x \neq 0$

$- x \neq - 2$

$x \neq 2$

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: $x \neq 2$

Приравнять числитель дроби к нулю $f (x) = 0$ и найти корни:

$x^{2} + x - 6 = 0$ – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

$a = 1, b = 1, c = - 6$

$D = b^{2} - 4 a c =$ $1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) =$ $1 + 24 = 25$

$D > 0$ – будет два различных корня.

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} =$ $\frac{- 1 \pm 5}{2} =$ $[\begin{array}{l} \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3 \end{array}$

$[\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = - 3 \end{array}$

Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

$[\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = - 3 \end{array}$

ОДЗ: $x \neq 2$

Значит, в ответ идет только один корень, $x = - 3.$

Ответ: $x = - 3.$

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются $x$ и $y),$ которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Решить систему уравнений – найти пару чисел $x$ и $y,$ которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

Метод подстановки.
Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Решение:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 (8 - 2 y) - y = - 4 \end{cases}$

Решить уравнение с одной неизвестной.

$3 (8 - 2 y) - y = - 4$

$24 - 6 y - y = - 4$

$- 7 y = - 4 - 24$

$- 7 y = - 28$

$y = \frac{- 28}{- 7} = \frac{28}{7} = 4$

$y = 4$

Найти оставшуюся неизвестную.

$y = 4$

$x = 8 - 2 y =$ $8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

$x = 0, y = 4$
${\begin{cases} x = 0 \\ y = 4 \end{cases}$
$(0; 4)$

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

${\begin{cases} a = b \\ c = d \end{cases}$

то

$(a + c) = (b + d)$

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Давайте избавимся в данном примере от переменной $x .$ Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной $x$ стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед $x$ стоит коэффициент $3 .$ Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной $x$ оказался коэффициент $(- 3) .$ Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на $(- 3) .$

${\begin{cases} x + 2 y = 8 | \cdot (- 3) \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} (- 3) \cdot (x + 2 y) = (- 3) \cdot 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} - 3 x - 6 y = - 24 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная $x$ исчезнет.

${\begin{cases} - 3 x - 6 y = - 24 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases} \oplus$

$(- 3 x - 6 y) + (3 x - y) =$ $(- 24) + (- 4)$

$- 3 x - 6 y + 3 x - y =$ $- 24 - 4$

$- 7 y = - 28$

$y = \frac{- 28}{- 7} = \frac{28}{7} = 4$

Осталось найти переменную $x .$ Для этого подставим $y = 4$ в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

$x + 2 y = 8$

$x + 2 \cdot 4 = 8$

$x + 8 = 8$

$x = 8 - 8 = 0$

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

$x = 0, y = 4$
${\begin{cases} x = 0 \\ y = 4 \end{cases}$
$(0; 4)$

Задание №9 из ОГЭ 2024. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку.