Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Для того, чтобы упрощать выражения, выполнять с ними различные преобразования, необходимо знать формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Квадрат суммы

$\begin{array}{l} (1) & {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} {(3 x + 4 y)}^{2} = \\ {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 4 y + {(4 y)}^{2} = \\ 9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2} \end{array}$

Квадрат разности

$\begin{array}{l} (2) & {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} {(5 x - 2 y)}^{2} = \\ {(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 2 y + {(2 y)}^{2} = \\ 25 x^{2} - 20 x y + 4 y^{2} \end{array}$

Сумма квадратов не раскладывается на множители

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} \neq \end{array}$

Разность квадратов

$\begin{array}{l} (3) & a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} 25 x^{2} - 4 y^{2} = \\ {(5 x)}^{2} - {(2 y)}^{2} = \\ (5 x - 2 y) (5 x + 2 y) \end{array}$

Куб суммы

$\begin{array}{l} (4) & {(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(x + 3 y)}^{3} = \\ {(x)}^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot (3 y) + 3 \cdot (x) \cdot {(3 y)}^{2} + {(3 y)}^{3} = \end{array} \\ \begin{array}{l} x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 y + 3 \cdot x \cdot 9 y^{2} + 27 y^{3} = \\ x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3} \end{array} \end{array}$

Куб разности

$\begin{array}{l} (5) & {(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(x^{2} - 2 y)}^{3} = \\ {(x^{2})}^{3} - 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot (x^{2}) \cdot {(2 y)}^{2} - {(2 y)}^{3} = \end{array} \\ \begin{array}{l} x^{2 \cdot 3} - 3 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot 2 y + 3 \cdot x^{2} \cdot 4 y^{2} - 8 y^{3} = \\ x^{6} - 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} - 8 y^{3} \end{array} \end{array}$

Сумма кубов

$\begin{array}{l} (6) & a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} 8 + x^{3} = 2^{3} + x^{3} = \\ (2 + x) (2^{2} - 2 \cdot x + x {}^{2}) = \\ (x + 2) (4 - 2 x + x^{2}) \end{array}$

Разность кубов

$\begin{array}{l} (7) & a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \end{array}$

Пример:

$\begin{array}{l} x^{6} - 27 y^{3} = {(x^{2})}^{3} - {(3 y)}^{3} = \\ (x^{2} - 3 y) ({(x^{2})}^{2} + (x^{2}) (3 y) + {(3 y)}^{2}) = \\ (x^{2} - 3 y) (x^{4} + 3 x^{2} y + 9 y^{2}) \end{array}$

Существует насколько методов разложения выражения на множители:

Вынесение общего множителя за скобки.

Группировка слагаемых.

Применение ФСУ.

Более подробно вспомнить применение формул сокращенного умножения (ФСУ) можно в уроке №3.

Задание №13 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 7.