Тригонометрия с нуля!

Этот урок можно было бы назвать “Тригонометрия для чайников”, так как здесь я рассказываю о тригонометрии с самого начала – с прямоугольного треугольника и до тригонометрической окружности. Также здесь есть видео по темам тригонометрические уравнения.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$$\sin \alpha =\frac{\mathrm{Противолежащий\; катет}}{гипотенуза}$$

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$$\cos \alpha =\frac{\mathrm{Прилежащий\; катет}}{гипотенуза}$$

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\mathrm{Противолежащий\; катет}}{\mathrm{Прилежащий\; катет}}$$

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\mathrm{Прилежащий\; катет}}{\mathrm{Противолежащий\; катет}}$$

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник , угол $C$ равен $90°:$

$\sin \angle A=\frac{CB}{AB}$

$\cos \angle A=\frac{AC}{AB}$

$\mathrm{tg}\angle A=\frac{\sin \angle A}{\cos \angle A}=\frac{CB}{AC}$

$\mathrm{ctg}\angle A=\frac{\cos \angle A}{\sin \angle A}=\frac{AC}{CB}$

$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}$

$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}$

$\mathrm{tg}\angle B=\frac{\sin \angle B}{\cos \angle B}=\frac{AC}{CB}$

$\mathrm{ctg}\angle B=\frac{\cos \angle B}{\sin \angle B}=\frac{CB}{AC}$

 

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках $(-1;0)$ и $(1;0),$ ось $y$ в точках $(0;-1)$ и $(0;1)$

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось $x,$ ось $y$ и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами $(1;0),$ – то есть от положительного направления оси $x,$ против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться $S$ (от слова start). Отметим на окружности точку $A.$ Рассмотрим $\angle SOA,$ обозначим его за $\alpha .$ Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть $\angle SOA=\alpha =\cup SA.$

 

Тригонометрические функции, как координаты точки

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки $A$ на ось $x$ (точка $B)$ и на ось игрек (точка $C).$

 

Отрезок $OB$ является проекцией отрезка $OA$ на ось $x,$ отрезок $OC$ является проекцией отрезка $OA$ на ось $y.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB:$

$\cos \alpha =\frac{OB}{OA}=\frac{OB}{1}=OB$

$\sin \alpha =\frac{AB}{OA}=\frac{AB}{1}=AB$

Поскольку $OCAB$ – прямоугольник, $AB=CO.$

Итак, косинус угла – координата точки $A$ по оси $x$ (ось абсцисс), синус угла – координата точки $A$ по оси $y$ (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол $\alpha$ – тупой, то есть больше $90°:$

 

Опускаем из точки $A$ перпендикуляры к осям $x$ и $y.$ Точка $B$ в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси $x.$ Косинус тупого угла отрицательный.

Значения синуса и косинуса для тупого угла

Можно и дальше крутить точку $A$ по окружности, расположить ее в $III$ или даже в $IV$ четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от $0°$ до $180°.$ Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью $x.$  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы $0°,$ $30°,$ $45°,$ $60°,$ $90°,$ $120°,$ $135°,$ $150°,$ $180°.$ Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось $x$ и на ось $y.$

 

Координата по оси $x$ – косинус угла, координата по оси $y$ – синус угла.

Пример:

$\cos 150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 150°=\frac{1}{2}$

 

Ещё одно замечание

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

 

Основное тригонометрическое тождество

$$\boxed{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}$$

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике $OAB:$

 

 

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$нет$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$нет$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

 

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Когда и как возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

 

Тригонометрия: Формулы приведения

Значения тригонометрических функций на тригонометрической окружности имеют определенную закономерность. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

то можно заметить, что:

$\sin 180°=\sin \left(180°-0°\right)=\sin 0°$

$\sin 150°=\sin \left(180°-30°\right)=\sin 30°$

$\sin 135°=\sin \left(180°-45°\right)=\sin 45°$

$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°$

 

$\cos 180°=\cos \left(180°-0°\right)=-\cos 0°$

$\cos 150°=\cos \left(180°-30°\right)=-\cos 30°$

$\cos 135°=\cos \left(180°-45°\right)=-\cos 45°$

$\cos 120°=\cos \left(180°-60°\right)=-\cos 60°$

 

Рассмотрим тупой угол $\beta$:

 

Для произвольного тупого угла $\beta =180°-\alpha$ всегда будут справедливы следующие равенства:

 

Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}$

 

Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

 

$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$

 

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

 

Скачать домашнее задание к уроку.

Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!