Пусть
и
– некоторые функции, зависящие от переменной
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида
ОДЗ:
(знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Привести выражение к виду
- Выписать ОДЗ:
- Приравнять числитель дроби к нулю
и найти корни.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
- Выписать ОДЗ:
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него:
- Приравнять числитель дроби к нулю
и найти корни:
– Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
– будет два различных корня.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
ОДЗ:
Значит, в ответ идет только один корень,
Ответ:
Задания для самостоятельного решения
№1. Решите уравнение:
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
ОДЗ:
Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:
В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
Ответ: 22
№2. Решите уравнение
Решение:
Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.
Представим число
в виде дроби со знаменателем
Выпишем ОДЗ:
Воспользуемся основным свойством пропорции:
произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
Ответ: 8