Дробно рациональные уравнения

      Комментарии к записи Дробно рациональные уравнения отключены

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 4 2 x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 4 2 x 1 \ 2 x = 0

x 2 4 2 x 2 x 2 x = 0

x 2 4 ( 2 x ) 2 x = 0

x 2 4 2 + x 2 x = 0

x 2 + x 6 2 x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

  1. Выписать ОДЗ:

g ( x ) 0

2 x 0

x 2

x 2

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x 2

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = 6

D = b 2 4 a c = 1 2 4 1 ( 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = b ± D 2 a = 1 ± 25 2 1 = 1 ± 5 2 = [ 1 + 5 2 = 4 2 = 2 1 5 2 = 6 2 = 3

[ x 1 = 2 x 2 = 3

 

  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

[ x 1 = 2 x 2 = 3

ОДЗ: x 2

Значит, в ответ идет только один корень, x = 3.

Ответ: x = 3.

 

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите уравнение: 3 x 19 = 19 x 3 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

 

№2. Решите уравнение x 4 x 6 = 2.