Дробно рациональные уравнения

1. Привести выражение к виду $\frac{f(x)}{g(x)}=0.$

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

$\frac{x^2-4}{2-x}-1^{{\backslash }^{2-x}}=0$

$\frac{x^2-4}{2-x}-\frac{2-x}{2-x}=0$

$\frac{x^2-4-(2-x)}{2-x}=0$

$\frac{x^2-4-2+x}{2-x}=0$

$\frac{x^2+x-6}{2-x}=0$

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

1. Выписать ОДЗ:

$g(x)\ne 0$

$2-x\ne 0$

$-x\ne -2$

$x\ne 2$

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: $\boxed{x\ne 2}$

1. Приравнять числитель дроби к нулю $f(x)=0$ и найти корни:

$x^2+x-6=0$ – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

$a=\mathrm{1,}b=\mathrm{1,}c=-6$

$D=b^2-4ac=$ $1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=$ $1+24=25$

$D>0$ – будет два различных корня.

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=$ $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}=$ $\frac{-1\pm 5}{2}=$ $[\begin{array}{l}\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{array}$

$[\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-3\end{array}$

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

$[\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-3\end{array}$

ОДЗ: $\boxed{x\ne 2}$

Значит, в ответ идет только один корень, $x=-3.$

Ответ: $x=-3.$