Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: $\angle AOB$  или $\angle BOA,$  но ни в коем случае не $\angle \xcancel{OAB},$ $\angle \xcancel{OBA},$ $\angle \xcancel{ABO},$ $\angle \xcancel{BAO}.$

Величину угла измеряют в градусах. $\angle AOB=24°.$

Виды углов:

 

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

$OD$ – биссектриса угла $\angle AOB.$ Она делит этот угол на два равных угла.

$$\angle AOD=\angle BOD=\frac{\angle AOB}{2}$$

Точка $D$ – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон $OA$ и $OB$ угла $\angle AOB.$

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна $180°.$

Пример:

Пары углов

$\left(1\right)$ и $\left(3\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(4\right)$

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

$\angle COD=\angle AOB$
$\angle BOD=\angle AOC$

Пары углов

$\left(1\right)$ и $\left(2\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(3\right)$
$\left(3\right)$ и $\left(4\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(1\right)$

называются смежными.

По свойству смежных углов:

$\begin{array}{l}\angle COD+\angle DOB=180°\\ \angle DOB+\angle BOA=180°\\ \angle BOA+\angle AOC=180°\\ \angle AOC+\angle COD=180°\end{array}$

 

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(5\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(6\right)$
$\left(3\right)$ и $\left(7\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(8\right)$

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

$\left(3\right)$ и $\left(5\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(6\right)$

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(7\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(8\right)$

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

$\left(3\right)$ и $\left(6\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(5\right)$

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(8\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(7\right)$

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна $180°.$
• Сумма внешних односторонних углов равна $180°.$

 

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$$\boxed{S_n=180°\cdot (n-2)}$$

где $n$ – это количество углов в $n$-угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного $n$-угольника.

Сумма углов треугольника: $S_3=180°\cdot (3-2)=180°$

Сумма углов четырехугольника: $S_4=180°\cdot (4-2)=360°$

Сумма углов пятиугольника: $S_5=180°\cdot (5-2)=540°$

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного $n$ -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

$$\boxed{{\alpha }_n=\frac{180°\cdot (n-2)}{n}}$$

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

 

Скачать домашнее задание к уроку 2.