Геометрия. Углы

В этом уроке вы узнаете абсолютно всё про углы: какими бывают углы (острые, тупые, прямые, развернутые), что такое биссектриса угла, какие образуются углы при пересечении двух прямых, какие образуются углы при пересечении двух параллельных прямых секущей. Ещё обсудим углы произвольного n-угольника и порешаем разные задачи.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: $\angle AOB$  или $\angle BOA,$  но ни в коем случае не $\angle \xcancel{OAB},$ $\angle \xcancel{OBA},$ $\angle \xcancel{ABO},$ $\angle \xcancel{BAO}.$

Величину угла измеряют в градусах. $\angle AOB=24°.$

Виды углов:

 

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

$OD$ – биссектриса угла $\angle AOB.$ Она делит этот угол на два равных угла.

$$\angle AOD=\angle BOD=\frac{\angle AOB}{2}$$

Точка $D$ – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон $OA$ и $OB$ угла $\angle AOB.$

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна $180°.$

Пример:

Пары углов

$\left(1\right)$ и $\left(3\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(4\right)$

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

$\angle COD=\angle AOB$
$\angle BOD=\angle AOC$

Пары углов

$\left(1\right)$ и $\left(2\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(3\right)$
$\left(3\right)$ и $\left(4\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(1\right)$

называются смежными.

По свойству смежных углов:

$\begin{array}{l}\angle COD+\angle DOB=180°\\ \angle DOB+\angle BOA=180°\\ \angle BOA+\angle AOC=180°\\ \angle AOC+\angle COD=180°\end{array}$

 

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(5\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(6\right)$
$\left(3\right)$ и $\left(7\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(8\right)$

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

$\left(3\right)$ и $\left(5\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(6\right)$

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(7\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(8\right)$

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

$\left(3\right)$ и $\left(6\right)$
$\left(4\right)$ и $\left(5\right)$

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

$\left(1\right)$ и $\left(8\right)$
$\left(2\right)$ и $\left(7\right)$

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна $180°.$
• Сумма внешних односторонних углов равна $180°.$

 

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$$\boxed{S_n=180°\cdot (n-2)}$$

где $n$ – это количество углов в $n$-угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного $n$-угольника.

Сумма углов треугольника: $S_3=180°\cdot (3-2)=180°$

Сумма углов четырехугольника: $S_4=180°\cdot (4-2)=360°$

Сумма углов пятиугольника: $S_5=180°\cdot (5-2)=540°$

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного $n$ -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

$$\boxed{{\alpha }_n=\frac{180°\cdot (n-2)}{n}}$$

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

 

Скачать домашнее задание к уроку 2.