Геометрия. Окружность. Отрезки в окружности.

В этом уроке вы узнаете всё про окружность, какие есть отрезки в окружности, какие есть углы в окружности. Поговорим о понятиях дуга окружности. Обсудим отличие понятий градусная мера дуги окружсности и длина дуги окружности. Ещё будем искать площадь круга и его частей, узнаем, что такое круговой сектор, а что такое круговой сегмент. Научимся применять теорему синусов и расширенную теорему синусов (для этого, конечно, нужно немного понимать в тригонометрии), и конечно же порешаем задачи на все эти темы!

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

 

Отрезки в окружности

Радиус окружности $R$ – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда $a$ – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр $d$ – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности $(d=2R).$

$OA$ – радиус, $DE$ – хорда, $BC$ – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны $(AC=BC).$

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

 

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Например, хорда $AB$ стягивает две дуги: $\cup AMB$ и $\cup ALB.$

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если $AB=CD,$ то $\cup AB=\cup CD$

 

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

$\angle AOB$ – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. $$\cup AB=\angle AOB=\alpha$$

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна $360°.$

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

$\angle ACB$ – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. $$\angle ACB=\frac{\cup AB}{2}=\frac{\alpha }{2}$$ $$\cup AB=2\cdot \angle ACB=\alpha$$

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

$\angle MAN=\angle MBN=\angle MCN=$ $\frac{\cup MN}{2}=\frac{\alpha }{2}$

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен $90°.$

$MN$ – диаметр.

$\angle MAN=\angle MBN=$ $\frac{\cup MN}{2}=\frac{180°}{2}=90°$

 

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна $360°$ ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный $\alpha .$

Градусная мера дуги $\cup AB$ равна градусной мере дуги $\cup CD$ и равна $\alpha .$

$\cup AB=\cup CD=\alpha$

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

$$\boxed{l=2\pi R}$$

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол $\alpha$ равна:

$$\boxed{l_{\alpha }=\frac{\pi R}{{180}^{\circ }}\cdot \alpha }$$

 

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: $$\boxed{S=\pi R^2}$$

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом $\alpha$ находится по формуле: $$\boxed{S_{\alpha }=\frac{\pi R^2}{360°}\cdot \alpha }$$

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

$$\boxed{S=\frac{\pi R^2}{360°}\cdot \alpha -\frac{1}{2}{R}^2\sin \alpha }$$

 

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

$$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$$ Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.