Система уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются $x$ и $y),$ которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Решить систему уравнений – найти пару чисел $x$ и $y,$ которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

Метод подстановки.
Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Решение:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} x = 8 - 2 y \\ 3 (8 - 2 y) - y = - 4 \end{cases}$

Решить уравнение с одной неизвестной.

$3 (8 - 2 y) - y = - 4$

$24 - 6 y - y = - 4$

$- 7 y = - 4 - 24$

$- 7 y = - 28$

$y = \frac{- 28}{- 7} = \frac{28}{7} = 4$

$y = 4$

Найти оставшуюся неизвестную.

$y = 4$

$x = 8 - 2 y =$ $8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

$x = 0, y = 4$
${\begin{cases} x = 0 \\ y = 4 \end{cases}$
$(0; 4)$

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

${\begin{cases} a = b \\ c = d \end{cases}$

то

$(a + c) = (b + d)$

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

${\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Давайте избавимся в данном примере от переменной $x .$ Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной $x$ стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед $x$ стоит коэффициент $3 .$ Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной $x$ оказался коэффициент $(- 3) .$ Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на $(- 3) .$

${\begin{cases} x + 2 y = 8 | \cdot (- 3) \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} (- 3) \cdot (x + 2 y) = (- 3) \cdot 8 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

${\begin{cases} - 3 x - 6 y = - 24 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная $x$ исчезнет.

${\begin{cases} - 3 x - 6 y = - 24 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases} \oplus$

$(- 3 x - 6 y) + (3 x - y) =$ $(- 24) + (- 4)$

$- 3 x - 6 y + 3 x - y =$ $- 24 - 4$

$- 7 y = - 28$

$y = \frac{- 28}{- 7} = \frac{28}{7} = 4$

Осталось найти переменную $x .$ Для этого подставим $y = 4$ в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

$x + 2 y = 8$

$x + 2 \cdot 4 = 8$

$x + 8 = 8$

$x = 8 - 8 = 0$

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

$x = 0, y = 4$
${\begin{cases} x = 0 \\ y = 4 \end{cases}$
$(0; 4)$

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений ${\begin{cases} 4 x + y = 10 \\ x + 3 y = - 3 \end{cases}$

В ответе запишите сумму решений.

Показать решение

Решение:

1 способ: (метод подстановки)

${\begin{cases} 4 x + y = 10 \\ x + 3 y = - 3 \end{cases}$

${\begin{cases} y = 10 - 4 x \\ x + 3 y = - 3 \end{cases}$

${\begin{cases} y = 10 - 4 x \\ x + 3 (10 - 4 x) = - 3 \end{cases}$

$x + 3 (10 - 4 x) = - 3$

$x + 30 - 12 x = - 3$

$- 11 x = - 33$

$x = \frac{- 33}{- 11} = 3$

Теперь осталось найти переменную $y .$

$y = 10 - 4 x =$ $10 - 4 \cdot 3 = - 2$

В ответе надо указать сумму решений:

$x + y = 3 + (- 2) = 1$

Ответ: 1

2 способ: (метод сложения)

${\begin{cases} 4 x + y = 10 | \cdot (- 3) \\ x + 3 y = - 3 \end{cases}$

${\begin{cases} (- 3) \cdot (4 x + y) = (- 3) \cdot 10 \\ x + 3 y = - 3 \end{cases}$

${\begin{cases} - 12 x - 3 y = - 30 \\ x + 3 y = - 3 \end{cases} \oplus$

$(- 12 x - 3 y + (x + 3 y) =$ $(- 30) + (- 3)$

$- 12 x - 3 y + x + 3 y = - 30 - 3$

$- 11 x = - 33$

$x = \frac{- 33}{- 11} = 3$

Теперь осталось найти переменную $y .$

$4 x + y = 10$

$4 \cdot 3 + y = 10$

$y = 10 - 12 = - 2$

В ответе надо указать сумму решений:

$x + y = 3 + (- 2) = 1$

Ответ: 1

№2. Две прямые пересекаются в точке $C$ (см. рис.). Найдите абсциссу точки $C .$

Показать решение

Решение:

Абсцисса – $x,$ ордината – $y .$ Если две прямые пересекаются, то для нахождения точки их пересечения надо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки.

${\begin{cases} 2 x - y = - 8 \\ x + 2 y = 6 \end{cases}$

${\begin{cases} 2 x - y = - 8 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$

${\begin{cases} 2 (6 - 2 y) - y = - 8 \\ x = 6 - 2 y \end{cases}$

$12 - 4 y - y = - 8$

$- 5 y = - 8 - 12 = - 20$

$y = \frac{- 20}{- 5} = \frac{20}{5} = 4$

$x = 6 - 2 y = 6 - 2 \cdot 4 =$ $6 - 8 = - 2$

Ответ: -2

№3. На рисунке изображены графики функций $y = 3 - x^{2}$ и $y = - 2 x .$ Вычислите координаты точки $B .$

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

Показать решение

Решение:

Для того, чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки:

${\begin{cases} y = - 2 x \\ y = 3 - x^{2} \end{cases}$

${\begin{cases} y = - 2 x \\ - 2 x = 3 - x^{2} \end{cases}$

$- 2 x = 3 - x^{2}$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$a = 1, b = - 2, c = - 3$

$D = b^{2} - 4 a c =$ ${(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) =$ $4 + 12 = 16$

$D > 0$

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} =$ $\frac{- (- 2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} =$ $[\begin{array}{l} \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{2 - 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \end{array}$

Поскольку нас интересует точка $B,$ которая лежит правее точки $A,$ выбираем $x = 3 .$

Ищем координату $y$ (ординату), соответствующую координате $x = 3$ (абсциссе).

$x = 3$

$y = - 2 x = - 2 \cdot 3 = - 6$

$B (3; - 6)$

Ответ: 3;-6