Система уравнений

      Комментарии к записи Система уравнений отключены

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 2 y 3 x y = 4

  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 2 y 3 x y = 4

{ x = 8 2 y 3 ( 8 2 y ) y = 4

  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 2 y ) y = 4

24 6 y y = 4

7 y = 4 24

7 y = 28

y = 28 7 = 28 7 = 4

y = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4

x = 8 2 y = 8 2 4 = 8 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

  1. x = 0, y = 4
  2. { x = 0 y = 4
  3. ( 0 ; 4 )

 

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

{ a = b c = d

то

( a + c ) = ( b + d )

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

{ x + 2 y = 8 3 x y = 4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( 3 ) .

{ x + 2 y = 8 | ( 3 ) 3 x y = 4

{ ( 3 ) ( x + 2 y ) = ( 3 ) 8 3 x y = 4

{ 3 x 6 y = 24 3 x y = 4

Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

{ 3 x 6 y = 24 3 x y = 4

( 3 x 6 y ) + ( 3 x y ) = ( 24 ) + ( 4 )

3 x 6 y + 3 x y = 24 4

7 y = 28

y = 28 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

x + 2 y = 8

x + 2 4 = 8

x + 8 = 8

x = 8 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

  1. x = 0, y = 4
  2. { x = 0 y = 4
  3. ( 0 ; 4 )

 

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений { 4 x + y = 10 x + 3 y = 3

В ответе запишите сумму решений.

 

№2. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

Система уравнений

 

№3. На рисунке изображены графики функций y = 3 x 2 и y = 2 x . Вычислите координаты точки B .

Система уравнений

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.