Система уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются $x$ и $y),$ которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 3x-y=-4\end{array}$

Решить систему уравнений – найти пару чисел $x$ и $y,$ которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 3x-y=-4\end{array}$

Решение:

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

1. $x=\mathrm{0,}y=4$
2. $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}$
3. $(0;4)$

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

$\{\begin{array}{l}a=b\\ c=d\end{array}$

то

$(a+c)=(b+d)$

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 3x-y=-4\end{array}$

Давайте избавимся в данном примере от переменной $x.$ Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной $x$ стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед $x$ стоит коэффициент $3.$ Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной $x$ оказался коэффициент $(-3).$ Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на $(-3).$

$\{\begin{array}{l}x+2y=8|\cdot (-3)\\ 3x-y=-4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(-3)\cdot (x+2y)=(-3)\cdot 8\\ 3x-y=-4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-3x-6y=-24\\ 3x-y=-4\end{array}$

Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная $x$ исчезнет.

$\{\begin{array}{l}-3x-6y=-24\\ 3x-y=-4\end{array}\oplus$

$(-3x-6y)+(3x-y)=$ $(-24)+(-4)$

$-3x-6y+3x-y=$ $-24-4$

$-7y=-28$

$y=\frac{-28}{-7}=\frac{28}{7}=4$

Осталось найти переменную $x.$ Для этого подставим $y=4$ в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

$x+2y=8$

$x+2\cdot 4=8$

$x+8=8$

$x=8-8=0$

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

1. $x=\mathrm{0,}y=4$
2. $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}$
3. $(0;4)$

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений $\{\begin{array}{l}4x+y=10\\ x+3y=-3\end{array}$

В ответе запишите сумму решений.

№2. Две прямые пересекаются в точке $C$ (см. рис.). Найдите абсциссу точки $C.$

№3. На рисунке изображены графики функций $y=3-x^2$ и $y=-2x.$ Вычислите координаты точки $B.$

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.