Геометрия. Треугольники

В этом уроке вы узнаете всё про треугольники: какие бывают виды треугольников, какие есть отрезки в треугольниках, как вычислить площадь треугольника. А также узнаете про равнобедренный треугольник и его свойства и про равносторонний треугольник и его свойства. Отдельное внимание уделено теме “Прямоугольный треугольник и его свойства”, так как она важна для понимания тригонометрии в 10-11 классах и даже в институте. 

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

 

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол $\angle A$ – угол, образованный сторонами $AB$ и $AC$ и противолежащий стороне $BC.$

Угол $\angle B$ – угол, образованный сторонами $BA$ и $BC$ и противолежащий стороне $AC.$

Угол $\angle C$ – угол, образованный сторонами $CB$ и $CA$ и противолежащий стороне $AB.$

 

 

Виды треугольников

Треугольник остроугольный, если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный, если у него один из углов прямой $(=90°).$

Треугольник тупоугольный, если у него один из углов тупой.

Примеры:

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна $180°.$
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, $AC,$ и взять на продолжении стороны точку $D,$ образуется внешний угол $\angle BCD$ к исходному углу $\angle ACB.$
  
  
  
  Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. $$\angle BCD=180°-\angle ACB$$ $$\angle BCD=\angle A+\angle B$$
• Неравенство треугольника: любая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

 

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
  
  
  
  $$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$
• Биссектрисы пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – центр вписанной в треугольник окружности.

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

 

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  
  
• Три медианы, проведенные в одном треугольнике, разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
  
  
  
  $$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$$

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Пример:

 

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

$m=\frac{a}{2}$

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

 

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

• Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
  
  
  $$\boxed{S=\frac{1}{2}a\cdot h_a}$$
  
• Полупроизведение двух сторон на синус угла между ними.
  
  
  $$\boxed{S=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin \alpha }$$
  
• По формуле Герона.
  
  
  $$\boxed{ \[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]}$$ $$p=\frac{a+b+c}{2}$$

 

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

 

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле $$\boxed{S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$$

Высота равностороннего треугольника находится по формуле $$\boxed{h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$$

 

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен $90°.$

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна $90°.$
• Катет, лежащий напротив угла в $30°,$ равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в $30°.$
  
  
  $$a=\frac{c}{2}$$ $$c=2\cdot a$$
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  
  
  $$m=\frac{c}{2}$$
• Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  
  $$a=\sqrt{m\cdot c}$$ $$b=\sqrt{n\cdot c}$$ $$h=\sqrt{m\cdot n}$$

 

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$$\boxed{c^2=a^2+b^2}$$

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

$$\boxed{S=\frac{1}{2}a\cdot b}$$

 

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

 

Скачать домашнее задание к уроку 3.