Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 2.

№7. Последовательность задана условиями c 1 = 3, c n + 1 = c n 1. Найдите c 7 .

Решение:

Данная последовательность является арифметической, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на ( 1 ) .

d = 1 — разность арифметической прогрессии.

Запишем формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

c n = c 1 + ( n 1 ) d

c 7 = c 1 + ( 7 1 ) d = 3 + 6 ( 1 ) = 9

Ответ: -9

 

№8. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству 40 n + 1 > 2 ?

Решение:

Разделим обе части неравенства на 2. Получим неравенство 20 n + 1 > 1.

Чтобы дробь была больше единицы, знаменатель дроби должен быть меньше числителя.

n + 1 < 20 n < 19 — это значит, что 18 натуральных чисел n : 1 ; 2 ; ; 17 ; 18 удовлетвояют исходному неравенству.

Ответ: 18

 

№9. Дана арифметическая прогрессия: 4 ; 2 ; 0 ; Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение:

a 1 = 4 — первый член арифметической прогрессии.

d = 2 ( 4 ) = 2 + 4 = 2 — разность арифметической прогрессии.

a n = a 1 + ( n 1 ) d — формула нахождения n-го члена.

a 10 = 4 + ( 10 1 ) 2 = 4 + 18 = 14

S n = a 1 + a n 2 n — формула нахождения суммы n первых членов.

S 10 = 4 + 14 2 10 = 10 2 10 = 50

Ответ: 50

 

№10. Дана арифметическая прогрессия ( a n ) : 7 ; 5 ; 3 ; Найдите a 16 .

Решение:

a 1 = 7

d = 5 ( 7 ) = 5 + 7 = 2

a n = a 1 + ( n 1 ) d a 16 = 7 + ( 16 1 ) 2 = 7 + 15 2 = 7 + 30 = 23

Ответ: 23

 

№11. Арифметические прогрессии ( x n ), ( y n ) и ( z n ) заданы формулами n-го члена: x n = 2 n + 4, y n = 4 n , z n = 4 n + 2. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.

  1. ( x n ) и ( y n )
  2. ( y n ) и ( z n )
  3. ( x n ) , ( y n ) и ( z n )
  4. ( x n )

Решение:

Данные последовательности заданы аналитически (то есть зависимость от n). Для того, чтобы определить, чему равняется разность d в каждой из этих последовательностей, необходимо привести их к рекуррентной форме записи (когда каждый последующий член выражается через предыдущий).

x n = 2 n + 4
x n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 4 = 2 n + 2 + 4 = x n + 2
d = 2

y n = 4 n
y n+1 =4( n+1 )= 4 n +4= y n +4
d=4

z n = 4 n + 2
z n + 1 = 4 ( n + 1 ) + 2 = 4 n + 4 + 2 = z n + 4
d = 4

Разность d=4 одинаковая у последовательностей ( y n ) и ( y n )

Правильный ответ под номером 2.

Ответ: 2

 

№12. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

  1. 28+2n
  2. 30+2n
  3. 32+2n
  4. 2n

Решение:

Задана арифметическая прогрессия, в которой a 1 = 30, d = 2.

Запишем формулу n-го члена:

a n = a 1 + ( n 1 ) d = 30 + ( n 1 ) 2 = 30 + 2 n 2 = 28 + 2 n

Правильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

 

№13. Дана арифметическая прогрессия: 33 ; 25 ; 17 ; Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

  1. -7
  2. -8
  3. -9
  4. -1

Решение:

Выпишем еще несколько членов этой прогрессии:

a 1 = 33, d = 25 33 = 8

a 2 = 25

a 3 = 17

a 4 = 17 8 = 9

a 5 = 9 8 = 1

a 6 = 1 8 = 7

Павильный ответ под номером 1.

Ответ: 1

 

№14. Арифметическая прогрессия задана условиями: a 1 = 6, a n + 1 = a n + 6. Какое из данных чисел является членом это прогрессии?

  1. 80
  1. 56
  1. 48
  1. 32

Решение:

Выпишем несколько первых членов арифметической прогрессии:

a 1 = 6

a 2 = 6 + 6 = 12

a 3 = 12 + 6 = 18

a 4 = 18 + 6 = 24

Каждый член данной арифметической прогрессии делится на 6. Из представленных в вариантах ответа числах только число 48 делится на 6.

Правильный ответ под номером 3.

Ответ: 3

 

№15. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: 8,6 ; 8 ; 4 ;

Решение:

Для того, чтобы найти сумму всех отрицательных членов заданной прогрессии, сперва необходимо выяснить, сколько их всего – отрицательных членов последовательности.

a 1 = 8,6, d = 0,2

a n = a 1 + ( n 1 ) d < 0

8,6 + ( n 1 ) 0,2 < 0

0,2 n 0,2 < 8,6

0,2 n < 8,8 n < 8,8 0,2 n < 44 n = 43

Всего 43 отрицательных члена прогрессии. Вычислим 43-й член прогрессии (самый последний из отрицательных):

a 43 = a 1 + ( 43 1 ) d = 8,6 + 42 0,2 = 8,6 + 8,4 = 0,2

Применим формулу суммы:

S n = a 1 + a n 2 n S 43 = 8,6 + ( 0,2 ) 2 43 = 8,8 2 43 = 4,4 43 = 189,2

Ответ: -189,2