Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 3.

№16. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528 ?

Решение:

В последовательности натуральных чисел каждое следующее натуральное число больше предыдущего на единицу, данная последовательность будет арифметической прогрессией.

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;

a 1 = 1 — первый член прогрессии,

a n = n n-й член прогрессии,

d = 1 — разность прогрессии,

S n = a 1 + a n 2 n — формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Исходя из условий задачи, составляем следующее неравенство:

1 + n 2 n < 528

Домножим левую и правую часть неравенства на 2 , а затем решим квадратное неравенство относительно переменной n.

1 + n 2 n < 528 | 2

( 1 + n ) n < 1056

n 2 + n 1056 < 0

Решим сперва уравнение n 2 + n 1056 = 0

a = 1, b = 1, c = 1056

D = b 2 4 a c = 1 2 4 1 ( 1056 ) = 1 + 4224 = 4225

n 1,2 = b ± D 2 a = 1 ± 6225 2 1 = [ 1 + 65 2 = 64 2 = 32 1 65 2 = 33

Получили, что при сумма будет равна 528. Это значит, что наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, сумма которых меньше 528 равно 31.

Ответ: 31

 

№17. В геометрической прогрессии ( b n ) известно, что b 1 = 2, q = 2. Найти пятый член этой прогрессии.

Решение:

Запишем формулу нахождения n-го члена геометрической прогрессии:

b n = b 1 q n 1

b 5 = b 1 q 5 1 = 2 ( 2 ) 4 = 2 16 = 32

Ответ: 32

 

№18. Геометрическая прогрессия ( b n ) задана формулой n-го члена b n = 2 ( 3 ) n 1 . Укажите четвертый член этой прогрессии.

Решение:

Подставим в формулу n = 4 .

b 4 = 2 ( 3 ) 4 1 = 2 ( 3 ) 3 = 8 ( 27 ) = 54

Ответ: -54

 

№19. Дана геометрическая прогрессия ( b n ), знаменатель которой равен 2 , а b 1 = 3 4 . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение:

Запишем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S n = b 1 ( q n 1 ) q 1

b 1 = 3 4 ; q = 2

Подставим эти значения в формулу.

S 6 = 3 4 ( 2 6 1 ) 2 1 = 3 4 63 1 = 189 4 = 47,25

Ответ: -47,25

 

№20. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.

Решение:

Выразим второй и третий члены геометрической прогрессии через первый.

b 2 = b 1 q

b 3 = b 1 q 2

Теперь составим систему.

{ b 1 + b 1 q = 75 b 1 q + b 1 q 2 = 150

{ b 1 ( 1 + q ) = 75 q b 1 ( 1 + q ) = 150

Подставим во второе уравнение системы вместо b 1 ( 1 + q ) число 75 . Получим:

{ b 1 ( 1 + q ) = 75 q 75 = 150 q = 150 75 = 2

Теперь найдем первые три члена данной геометрической прогрессии:

b 1 = 75 q + 1 = 75 2 + 1 = 75 3 = 25

b 2 = b 1 q = 25 2 = 50

b 3 = b 2 q = 50 2 = 100

Ответ: 25; 50; 100

 

№21. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ; 150 ; x ; 6 ; 1,2 ; Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

Решение:

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

b n 2 = b n 1 b n + 1

Получим:

x 2 = 6 150 = 900 x = ± 30

Так как прогрессия знакопостоянная, то выбираем 30.

Ответ: 30

 

№22. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ; 1,75 ; x ; 28 ; 112 ; Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

Решение:

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

b n 2 = b n 1 b n + 1

Получим:

x 2 = 1,75 28 = 49 x = ± 7

Так как прогрессия знакопеременная, то выбираем -7 .

Ответ: -7

 

№23. Дана геометрическая прогрессия ( b n ), для которой b 5 = 14, b 8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение:

b 8 = b 7 q = ( b 6 q ) q = ( ( b 5 q ) q ) q = b 5 q 3

q 3 = b 8 b 5 = 112 14 = 8

q = 2

Ответ: -2

 

№24. Геометрическая прогрессия задана условием b 1 = 3, b n + 1 = 6 b n . Найдите сумму первых 4 её членов.

Решение:

Из заданного условия определяем, что q = 6.

S n = b 1 ( q n 1 ) q 1 S 4 = 3 ( 6 4 1 ) 6 1 = 3 ( 1296 1 ) 5 = 3 1295 5 = 3 259 = 777

Ответ: -777