Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 3.

№16. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с $\mathrm{1,}$ можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше $528?$

Решение:

В последовательности натуральных чисел каждое следующее натуральное число больше предыдущего на единицу, данная последовательность будет арифметической прогрессией.

$1;2;3;4;5;\mathrm{\dots }$

$a_1=1$ – первый член прогрессии,

$a_n=n$ – n-й член прогрессии,

$d=1$ – разность прогрессии,

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ – формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Исходя из условий задачи, составляем следующее неравенство:

$$\frac{1+n}{2}\cdot n<528$$

Домножим левую и правую часть неравенства на $2$ , а затем решим квадратное неравенство относительно переменной n.

$\frac{1+n}{2}n<528|\cdot 2$

$\left(1+n\right)\cdot n<1056$

$n^2+n-1056<0$

Решим сперва уравнение $n^2+n-1056=0$

$a=\mathrm{1,}b=\mathrm{1,}c=-1056$

$D=b^2-4ac=$ $1^2-4\cdot 1\cdot (-1056)=$ $1+4224=4225$

$n_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=$ $\frac{-1\pm \sqrt{6225}}{2\cdot 1}=$ $[\begin{array}{l}\frac{-1+65}{2}=\frac{64}{2}=32\\ \frac{-1-65}{2}=-33\end{array}$

Получили, что при сумма будет равна $528.$ Это значит, что наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с $\mathrm{1,}$ сумма которых меньше $528$ равно $31.$

Ответ: 31

 

№17. В геометрической прогрессии $\left(b_n\right)$ известно, что $b_1=\mathrm{2,}q=-2.$ Найти пятый член этой прогрессии.

Решение:

Запишем формулу нахождения n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$b_5=b_1\cdot q^{5-1}=2\cdot {(-2)}^4=$ $2\cdot 16=32$

Ответ: 32

 

№18. Геометрическая прогрессия $\left(b_n\right)$ задана формулой n-го члена $b_n=2\cdot {(-3)}^{n-1}.$ Укажите четвертый член этой прогрессии.

Решение:

Подставим в формулу $n=4.$

$b_4=2\cdot {\left(-3\right)}^{4-1}=2\cdot {\left(-3\right)}^3=$ $8\cdot (-27)=-54$

Ответ: -54

 

№19. Дана геометрическая прогрессия $(b_n),$ знаменатель которой равен $2,$ а $b_1=-\frac{3}{4}.$ Найдите сумму первых шести её членов.

Решение:

Запишем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\frac{b_1\cdot (q^n-1)}{q-1}$

$b_1=-\frac{3}{4};q=2$

Подставим эти значения в формулу.

$S_6=\frac{-\frac{3}{4}\cdot (2^6-1)}{2-1}=\frac{-\frac{3}{4}\cdot 63}{1}=$ $\frac{-189}{4}=-\mathrm{47,25}$

Ответ: -47,25

 

№20. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна $\mathrm{75,}$ а сумма второго и третьего членов равна $150.$ Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.

Решение:

Выразим второй и третий члены геометрической прогрессии через первый.

$b_2=b_1\cdot q$

$b_3=b_1\cdot q^2$

Теперь составим систему.

$\{\begin{array}{l}{b}_1+b_{1}q=75\\ b_{1}q+b_1{q}^2=150\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{b}_1\left(1+q\right)=75\\ q\cdot b_1\left(1+q\right)=150\end{array}$

Подставим во второе уравнение системы вместо $b_1\left(1+q\right)$ число $75.$ Получим:

$\{\begin{array}{l}{b}_1\left(1+q\right)=75\\ q\cdot 75=150\Rightarrow q=\frac{150}{75}=2\end{array}$

Теперь найдем первые три члена данной геометрической прогрессии:

$b_1=\frac{75}{q+1}=\frac{75}{2+1}=\frac{75}{3}=25$

$b_2=b_1\cdot q=25\cdot 2=50$

$b_3=b_2\cdot q=50\cdot 2=100$

Ответ: 25; 50; 100

 

№21. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: $\mathrm{\dots };150;x;6;\mathrm{1,2};\mathrm{\dots }$ Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $x.$

Решение:

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

Получим:

$x^2=6\cdot 150=900\Rightarrow x=\pm 30$

Так как прогрессия знакопостоянная, то выбираем $30.$

Ответ: 30

 

№22. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: $\mathrm{\dots };\mathrm{1,75};x;28;-112;\mathrm{\dots }$ Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $x.$

Решение:

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

Получим:

$x^2=\mathrm{1,75}\cdot 28=49\Rightarrow$ $x=\pm 7$

Так как прогрессия знакопеременная, то выбираем $-7.$

Ответ: -7

 

№23. Дана геометрическая прогрессия $(b_n),$ для которой $b_5=-\mathrm{14,}{b}_8=112.$ Найдите знаменатель прогрессии.

Решение:

$b_8=b_7\cdot q=\left(b_6\cdot q\right)q=$ $\left(\left(b_5\cdot q\right)\cdot q\right)q=b_5\cdot q^3$

$q^3=\frac{b_8}{b_5}=\frac{112}{-14}=-8$

$q=-2$

Ответ: -2

 

№24. Геометрическая прогрессия задана условием $b_1=-\mathrm{3,}{b}_{n+1}=6b_n.$ Найдите сумму первых $4$ её членов.

Решение:

Из заданного условия определяем, что $q=6.$

$S_n=\frac{b_1\cdot (q^n-1)}{q-1}\Rightarrow$ $S_4=\frac{-3\cdot (6^4-1)}{6-1}=$ $\frac{-3\cdot (1296-1)}{5}=$ $-3\cdot \frac{1295}{5}=-3\cdot 259=-777$

Ответ: -777