Геометрия. Урок 2. Задания. Часть 1.

№1. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим угол, который отмечен такой же дугой, что и угол α за α . Отметим угол, который является вертикальным с углом 120 ° , такой же дугой и пометим, что он равен 120 ° , Теперь можем составить уравнение и решить его:

α + 120 ° + α = 180 °

2 α + 120 ° = 180 °

2 α = 180 ° 120 °

2 α = 60 °

α = 60 ° 2 = 30 °

Ответ: 30

 

№2. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим углы, которые отмечены такой же дугой, что и угол α за α . Теперь можем составить уравнение и решить его:

α + α + 105 ° + α = 180 °

3 α + 105 ° = 180 °

3 α = 180 ° 105 °

3 α = 75 °

α = 75 ° 3 = 25 °

Ответ: 25

№3. Прямые m и n параллельны. Найдите 3, если 1 = 36 ° , 2 = 81 ° . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим угол между 1 и 3 как 4 .

4 = 2 = 81 ° , так как это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых. Теперь можем составить уравнение и решить его:

1 + 4 + 3 = 180 °

36 ° + 81 ° + 3 = 180 °

3 + 117 ° = 180 °

3 = 180 ° 117 °

3 = 63 °

Ответ: 63

 

№4. В треугольнике два угла равны 33 ° и 55 ° . Найти его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180 ° . Обозначим третий угол за x . Теперь можем составить уравнение и решить его.

x + 33 ° + 55 ° = 180 °

x + 88 ° = 180 °

x = 180 ° 88 °

x = 92 °

Ответ: 92

 

№5. Найдите величину угла D O K , если O K — биссектриса угла A O D , D O B = 126 ° . Ответ дайте в градусах.

Решение:

O K — биссектриса угла A O D , значит она делит его на два равных угла D O K = A O K . Обозначим эти углы за α . Теперь можем составить уравнение и решить его:

α + α + 126 ° = 180 °

2 α = 180 ° 126 °

2 α = 54 °

α = 54 ° 2

α = 27 °

Ответ: 27

 

№6. Биссектрисы углов N и M треугольника M N P пересекаются в точке A . Найдите N A M , если N = 56 ° , а M = 74 ° . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол N делится биссектрисой на два равных угла. M N A = N 2 = 56 ° 2 = 28 °

Угол M делится биссектрисой на два равных угла. N M A = M 2 = 74 ° 2 = 37 °

Рассмотрим M N A . В нем известны два угла, осталось найти третий. Сумма углов в треугольнике равна 180 ° . Обозначим M A N = α . Составим уравнение и решим его:

α + 37 ° + 28 ° = 180 °

α + 65 ° = 180 °

α = 180 ° 65 °

α = 115 °

Ответ: 115

 

№7. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 289 ° . Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ( n 2 ).

При n = 4 получим:

S 4 = 180 ° ( 4 2 ) = 180 ° 2 = 360 ° .

Сумма трех углов четырехугольника нам известна. Для того, чтобы найти четвертый угол нужно из суммы углов четырехугольника вычесть сумму известных трех углов. Пусть неизвестный угол равен α .

α = 360 ° 289 ° = 71 °

Ответ: 71

 

№8. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 6 : 4 : 3 : 5 . Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть четырехугольник называется A B C D . Если углы заданы отношением 6 : 4 : 3 : 5 , то мы можем их обозначить:

A = 6 x

B = 4 x

C = 3 x

D = 5 x

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 ° .

A + B + C + D = 360 °

6 x + 4 x + 3 x + 5 x = 360 °

18 x = 360 °

x = 360 ° 18 = 20 °

Наименьший угол четырехугольника – это C = 3 x .

C = 3 20 ° = 60 °

Ответ: 60

 

№9. A B C D E F — правильный шестиугольник. Найдите угол C D E . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Воспользуемся формулой нахождения угла правильного n-угольника:

α n = 180 ° ( n 2 ) n

При n = 6 получим:

α 6 = 180 ° ( 6 2 ) 6 = 180 ° 4 6 = 120 °

Ответ: 120